Calcular los siguientes límites:
lim (x, y) (0,0) e^x y-1sen(x) cdot Ln(1+y)=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, lim(x, y) to (0,0) e^x y - 1sin(x) cdot ln(1+y) e , indo para zero. A equação é:
Vamos precisar usar conhecimentos de limites multivariáveis, séries de Taylor para funções exponenciais, seno e logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando e^x y - 1 approx x y e estão próximos de zero.
O numerador é . Sabemos que para números pequenos, . Então:

Passo 3

Agora, o denominador é sin(x) cdot ln(1+y) approx x cdot y . Para pequeno, . E para pequeno, . Então:

Passo 4

Substituindo as aproximações no limite:
lim(x, y) to (0,0) x yx y = lim(x, y) to (0,0) 1 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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