Considere lim (x, y) (0,0) x^2+y^2x y. Se pide:
¿Existe el límite? Justifica tu respuesta.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o limite existe. Em limites de duas variáveis, o limite existe se, independentemente do caminho que segue para chegar a , o valor de se aproxima de um único número.

Passo 3

Vamos testar esse conceito escolhendo dois caminhos diferentes para se aproximarem de .

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos fixar x^2+x^2x cdot x = 2x^2x^2 = 2 . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, o valor da função se aproxima de 2.

Passo 5

Segundo caminho: Agora, vamos fixar x^2+(-x)^2x cdot (-x) = 2x^2-x^2 = -2 . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, o valor da função se aproxima de -2.

Passo 6

Observamos que, dependendo do caminho escolhido, o limite tende a valores diferentes (2 e -2). Isso significa que o limite não é o mesmo para todos os caminhos que levam a .

Resposta

O limite não existe, pois diferentes caminhos levam a valores distintos.

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