Estudiar la continuidad de las siguientes funciones realizando un cambio a coordenadas polares:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes: quando não é o ponto , e quando é exatamente . A tarefa aqui é estudar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que ajudam a simplificar a análise de limites em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar e , usamos e , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo em relação ao eixo . As relações são:
Com isso, toda a função vai ser reescrita em termos de e .

Passo 3

Vamos substituir e na função usando as coordenadas polares:
Simplificando, podemos fatorar o no numerador e no denominador:
Perceba que o cancela, o que é interessante para analisarmos o limite.

Passo 4

Agora, para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual a , que é 0. Mas observamos que após a simplificação, a função não depende mais de , apenas de .

Passo 5

Isso significa que o valor do limite depende apenas de , ou seja, do caminho que estamos tomando para chegar até . Se o limite fosse o mesmo para todos os valores de , então a função poderia ser contínua. Mas vamos verificar:
Por exemplo:
  • Se ( radianos):
  • Se ( radianos):
Vemos que o limite varia dependendo do ��ngulo , o que indica que o limite geral não existe.

Passo 6

Como o limite da função quando se aproxima de depende do caminho seguido (ou seja, do ângulo ), o limite não é único. Isso significa que o limite não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois o limite não existe quando se aproxima de .

Exercícios relacionados

Considere . Se pide:
Determine, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta .
Calcular los siguientes límites:
Considere la función f definida por
Estudie a través de una trayectoria conveniente. ¿Qué concluye?