Estudiar la continuidad de las siguientes funciones realizando un cambio a coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função
que é definida de duas formas diferentes: quando
não é o ponto
, e quando é exatamente
. A tarefa aqui é estudar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que ajudam a simplificar a análise de limites em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos
e
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo
. As relações são:
Com isso, toda a função
vai ser reescrita em termos de
e
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na função
usando as coordenadas polares:
Simplificando, podemos fatorar o
no numerador e no denominador:
Perceba que o
cancela, o que é interessante para analisarmos o limite.
Passo 4
Agora, para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
, que é 0. Mas observamos que após a simplificação, a função não depende mais de
, apenas de
.
Passo 5
Isso significa que o valor do limite depende apenas de
, ou seja, do caminho que estamos tomando para chegar até
. Se o limite fosse o mesmo para todos os valores de
, então a função poderia ser contínua. Mas vamos verificar:
Por exemplo:
- Se
( radianos):
- Se
( radianos):
Vemos que o limite varia dependendo do ��ngulo
, o que indica que o limite geral não existe.
Passo 6
Como o limite da função
quando
se aproxima de
depende do caminho seguido (ou seja, do ângulo
), o limite não é único. Isso significa que o limite não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, pois o limite não existe quando
se aproxima de
.
Exercícios relacionados
Considere
. Se pide:
Determine, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta .
Determine, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta
Calcular los siguientes límites:
Considere la función f definida por
Estudie a través de una trayectoria conveniente. ¿Qué concluye?
Estudie