Considere la función f definida por f(x, y)=3 x y^32 y^6+x^2
Estudie lim (x, y) (0,0) 3 x y^32 y^6+x^2 a través de una trayectoria conveniente. ¿Qué concluye?

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos estudar o limite da função quando se aproxima de . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em várias variáveis, onde verificamos se o limite existe ou não analisando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma trajetória conveniente para analisar o limite. Uma boa estratégia é escolher uma relação entre e que simplifique a expressão. Vamos tentar a trajetória onde , onde é uma constante qualquer. Isso nos ajudará a ver se o limite depende do valor de .

Passo 3

Substituindo f(x, y) = 3x(kx^1/3)^32(kx^1/3)^6 + x^2 na função , temos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Calculando os expoentes:
(kx^1/3)^3 = k^3x e (kx^1/3)^6 = k^6x^2
Substituindo de volta na função:
f(x, y) = 3x(k^3x)2(k^6x^2) + x^2 = 3k^3x^22k^6x^2 + x^2

Passo 5

Podemos fatorar f(x, y) = 3k^3x^2x^2(2k^6 + 1) = 3k^32k^6 + 1 no denominador:
Note que cancela, desde que , o que é válido para o limite.

Passo 6

Agora, ao calcular o limite quando limx to 0 3k^32k^6 + 1 = 3k^32k^6 + 1 se aproxima de 0, a expressão simplificada não depende de :

Passo 7

Observamos que o resultado do limite depende do valor de . Isso significa que diferentes trajetórias (valores de ) levam a diferentes valores de limite.

Resposta

Como o limite depende do caminho escolhido (do valor de ), concluímos que o limite não existe.

Exercícios relacionados