Considere la función f definida por
Estudie a través de una trayectoria conveniente. ¿Qué concluye?

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos estudar o limite da função quando se aproxima de . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em várias variáveis, onde verificamos se o limite existe ou não analisando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma trajetória conveniente para analisar o limite. Uma boa estratégia é escolher uma relação entre e que simplifique a expressão. Vamos tentar a trajetória onde , onde é uma constante qualquer. Isso nos ajudará a ver se o limite depende do valor de .

Passo 3

Substituindo na função , temos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Calculando os expoentes:
Substituindo de volta na função:

Passo 5

Podemos fatorar no denominador:
Note que cancela, desde que , o que é válido para o limite.

Passo 6

Agora, ao calcular o limite quando se aproxima de 0, a expressão simplificada não depende de :

Passo 7

Observamos que o resultado do limite depende do valor de . Isso significa que diferentes trajetórias (valores de ) levam a diferentes valores de limite.

Resposta

Como o limite depende do caminho escolhido (do valor de ), concluímos que o limite não existe.

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Considere . Se pide:
Determine, si es posible, el límite a lo largo de la parábola .
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