Considere lim (x, y) (0,0) x^2+y^2x y. Se pide:
Determine, si es posible, el límite a lo largo de la parábola y=mx^2.

Passo 1

Vamos resolver o limite ao longo da parábola . Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis e usando substituição para caminhos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a expressão da parábola x^2 + y^2x cdot y = x^2 + (m x^2)^2x cdot m x^2 na função original. Isso significa substituir por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão:
x^2 + m^2 x^4m x^3 = x^2(1 + m^2 x^2)m x^3 = 1 + m^2 x^2m x

Passo 4

Em seguida, analisamos o comportamento dessa expressão quando se aproxima de 0. O numerador tende para 1, enquanto o denominador tende para 0.

Passo 5

Quando o denominador tende para 0 e o numerador tende para um valor diferente de 0, o limite tende para infinito ou menos infinito, dependendo do sinal de e de .

Passo 6

Portanto, o limite não existe de forma finita, pois a expressão tende para ou , dependendo do caminho de aproximação.

Resposta

O limite não existe ao longo da parábola , pois a expressão tende para infinito ou menos infinito.

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