Calcular los siguientes límites:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando e vão para o infinito. A expressão que temos é:
Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis, onde analisamos como a função se comporta quando as variáveis envolvidas crescem sem limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento de funções e comparar o grau de e no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos no numerador e no denominador. No numerador, temos , que é uma função de primeiro grau. No denominador, temos , que é uma função de segundo grau. Geralmente, se o denominador cresce mais rápido que o numerador, o limite tende a zero.

Passo 3

Para confirmar isso, vamos dividir cada termo por , que é o termo de maior grau no denominador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando e tendem para o infinito. Se cresce proporcionalmente a , digamos , onde é uma constante, então:
E o denominador:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão, temos:
À medida que tende para o infinito, tende para zero, porque está no denominador e aumenta sem limite.

Resposta

Exercícios relacionados

Probar que los siguientes límites no existen:
Utilice límites sucesivos o iterados para demostrar que los siguientes límites no existen.
Calcular los siguientes límites:
Si , halle: