Calcular los siguientes límites:
lim (x, y) (+infty,+infty) x+yx^2+y^2=

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (+infty,+infty) x + yx^2 + y^2 e vão para o infinito. A expressão que temos é:
Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis, onde analisamos como a função se comporta quando as variáveis envolvidas crescem sem limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento de funções e comparar o grau de e no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos no numerador e no denominador. No numerador, temos , que é uma função de primeiro grau. No denominador, temos , que é uma função de segundo grau. Geralmente, se o denominador cresce mais rápido que o numerador, o limite tende a zero.

Passo 3

Para confirmar isso, vamos dividir cada termo por x + yx^2 + y^2 = xx^2 + yx^21 + y^2x^2 = 1x + yx^21 + (yx)^2 , que é o termo de maior grau no denominador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando 1x + yx^2 = 1x + kxx^2 = 1x + kx = 1 + kx e 1 + (yx)^2 = 1 + k^2 tendem para o infinito. Se cresce proporcionalmente a , digamos , onde é uma constante, então:
E o denominador:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão, temos:
1 + kx1 + k^2 = 1 + kx(1 + k^2)
À medida que tende para o infinito, tende para zero, porque está no denominador e aumenta sem limite.

Resposta

lim (x, y) (+infty,+infty) x + yx^2 + y^2 = 0

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