Utilice límites sucesivos o iterados para demostrar que los siguientes límites no existen.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para mostrarmos que ele não existe. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis, especificamente:
Para demonstrar que esse limite não existe, vamos usar limites ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se obtivermos resultados diferentes ao seguir caminhos distintos, isso mostra que o limite não é único e, portanto, não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde . Isso significa que estamos nos aproximando de ao longo do eixo . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de ao longo do eixo , o limite da função é 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde . Isso significa que estamos nos aproximando de ao longo do eixo . Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos de ao longo do eixo , o limite da função é .

Passo 4

Para complementar, vamos escolher um caminho geral onde , onde é uma constante que representa a inclinação do caminho. Substituindo na função:
Note que o limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , retornamos ao primeiro caso com limite 1.
  • Se , o limite se aproxima de .
Isso mostra que diferentes valores de resultam em diferentes limites, confirmando que o limite geral não é único.

Resposta

O limite não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho seguido para .

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Calcular los siguientes límites.
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Probar que los siguientes límites no existen:
Calcular los siguientes límites: