Utilice límites sucesivos o iterados para demostrar que los siguientes límites no existen.
lim (x, y) (0,0) x^2-2 y^2x^2+3 y^2=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para mostrarmos que ele não existe. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis, especificamente:
lim (x, y) (0,0) x^2-2 y^2x^2+3 y^2
Para demonstrar que esse limite não existe, vamos usar limites ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se obtivermos resultados diferentes ao seguir caminhos distintos, isso mostra que o limite não é único e, portanto, não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde x^2 - 2(0)^2x^2 + 3(0)^2 = x^2x^2 = 1 . Isso significa que estamos nos aproximando de ao longo do eixo . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de ao longo do eixo , o limite da função é 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde 0^2 - 2y^20^2 + 3y^2 = -2y^23y^2 = -23 . Isso significa que estamos nos aproximando de ao longo do eixo . Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos de ao longo do eixo , o limite da função é .

Passo 4

Para complementar, vamos escolher um caminho geral onde x^2 - 2(kx)^2x^2 + 3(kx)^2 = x^2 - 2k^2x^2x^2 + 3k^2x^2 = 1 - 2k^21 + 3k^2 , onde é uma constante que representa a inclinação do caminho. Substituindo na função:
Note que o limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , retornamos ao primeiro caso com limite 1.
  • Se , o limite se aproxima de .
Isso mostra que diferentes valores de resultam em diferentes limites, confirmando que o limite geral não é único.

Resposta

O limite não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho seguido para .

Exercícios relacionados