Utilice límites sucesivos o iterados para demostrar que los siguientes límites no existen.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que pede para mostrarmos que ele não existe. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis, especificamente:
Para demonstrar que esse limite não existe, vamos usar limites ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
. Se obtivermos resultados diferentes ao seguir caminhos distintos, isso mostra que o limite não é único e, portanto, não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Isso significa que estamos nos aproximando de
ao longo do eixo
. Substituindo
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
ao longo do eixo
, o limite da função é 1.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Isso significa que estamos nos aproximando de
ao longo do eixo
. Substituindo
na função:
Assim, ao nos aproximarmos de
ao longo do eixo
, o limite da função é
.
Passo 4
Para complementar, vamos escolher um caminho geral onde
, onde
é uma constante que representa a inclinação do caminho. Substituindo
na função:
Note que o limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, retornamos ao primeiro caso com limite 1. - Se
, o limite se aproxima de .
Isso mostra que diferentes valores de
resultam em diferentes limites, confirmando que o limite geral não é único.
Resposta
O limite não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho seguido para
.
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Probar que los siguientes límites no existen:
Calcular los siguientes límites: