Calcular los siguientes límites:
lim (x, y) (0,2) sen(x y)x=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando o ponto sen(xy)x se aproxima de (x, y). Isso envolve conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e o uso de propriedades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o seno se comporta perto de zero e aplicar algumas simplificações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento da função seno, que é xy. Quando (x, y) se aproxima de (0, 2), temos que x está próximo de 0 e y está próximo de 2. Portanto, xy está próximo de 0 times 2 = 0.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de z, a função pode ser aproximada por sen(z). Isso é uma aproximação da série de Taylor do seno. Ou seja, quando z é próximo de z, .

Passo 4

Aplicando essa aproximação no nosso caso, temos:
Então, a expressão do limite fica:

Passo 5

Simplificando a fração xyx, cancelamos o x no numerador e denominador:
xyx = y

Passo 6

Agora, substituímos o valor para o qual y se aproxima. Sabemos que y 2, então:
y 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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