Calcular los siguientes límites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando o ponto se aproxima de . Isso envolve conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e o uso de propriedades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o seno se comporta perto de zero e aplicar algumas simplificações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento da função seno, que é . Quando se aproxima de , temos que está próximo de e está próximo de . Portanto, está próximo de .

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de , a função pode ser aproximada por . Isso é uma aproximação da série de Taylor do seno. Ou seja, quando é próximo de , .

Passo 4

Aplicando essa aproximação no nosso caso, temos:
Então, a expressão do limite fica:

Passo 5

Simplificando a fração , cancelamos o no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, substituímos o valor para o qual se aproxima. Sabemos que , então:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Calcular los siguientes límites:
Probar que los siguientes límites no existen:
Si , halle:
Dada a EDO de segunda ordem Encontre:
a) Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada .