Calcular los siguientes límites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando o ponto
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e o uso de propriedades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o seno se comporta perto de zero e aplicar algumas simplificações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento da função seno, que é
. Quando
se aproxima de
, temos que
está próximo de
e
está próximo de
. Portanto,
está próximo de
.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, a função pode ser aproximada por
. Isso é uma aproximação da série de Taylor do seno. Ou seja, quando
é próximo de
, .
Passo 4
Aplicando essa aproximação no nosso caso, temos:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 5
Simplificando a fração
, cancelamos o
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, substituímos o valor para o qual
se aproxima. Sabemos que
, então:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcular los siguientes límites:
Probar que los siguientes límites no existen:
Si
, halle:
Dada a EDO de segunda ordem
Encontre:
a) Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada .
a) Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada