Probar que los siguientes límites no existen:
lim (x, y) (1,1) x^2+x y-2 y^2x^2-y^2=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que o limite
lim (x, y) (1,1) x^2+x y-2 y^2x^2-y^2
não existe. O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar se o limite é o mesmo quando a gente se aproxima de por diferentes caminhos. Se a gente encontrar caminhos que dão resultados diferentes, então o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite pra facilitar nossa análise. Olha o denominador:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
E o numerador:
x^2 + xy - 2y^2
Não dá pra fatorar de um jeito fácil, então vamos direto para a análise dos caminhos diferentes para ver se o limite muda.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos distintos para chegar em :
  1. Caminho y = 1: A gente fixa e aproxima de 1.
  2. Caminho y = x: A gente se aproxima de ao longo da linha onde é igual a .

Passo 4

Analisando o primeiro caminho: y = 1
Substituindo x^2 + x cdot 1 - 2 cdot 1^2x^2 - 1^2 = x^2 + x - 2x^2 - 1 por 1 na função, fica:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Denominador:
(x + 2)(x - 1)(x - 1)(x + 1) = x + 2x + 1, x neq 1
Então, a expressão simplifica para:
limx to 1 x + 2x + 1 = 1 + 21 + 1 = 32
Agora, calculamos o limite quando :
Então, por esse caminho, o limite é .

Passo 5

Agora, vamos analisar o segundo caminho: y = x
Substituindo x^2 + x cdot x - 2x^2x^2 - x^2 = x^2 + x^2 - 2x^20 = 00 por x^2 + x cdot 0 - 2 cdot 0^2x^2 - 0^2 = x^2x^2 = 1, x neq 0 na função, temos:
Essa expressão dá uma indeterminação, então precisamos escolher outro caminho para provar que o limite não existe.
Analisando o caminho y = 0
Substituindo por 0 na função:
Aqui, o limite quando é 1.

Passo 6

Observamos que:
  • Pelo caminho y = 1, o limite é .
  • Pelo caminho y = 0, o limite é 1.
Como esses valores são diferentes, isso significa que o limite depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de . Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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