Probar que los siguientes límites no existen:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que o limite
não existe. O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar se o limite é o mesmo quando a gente se aproxima de
por diferentes caminhos. Se a gente encontrar caminhos que dão resultados diferentes, então o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite pra facilitar nossa análise. Olha o denominador:
E o numerador:
Não dá pra fatorar de um jeito fácil, então vamos direto para a análise dos caminhos diferentes para ver se o limite muda.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos distintos para chegar em
:
- Caminho y = 1: A gente fixa
e aproxima de 1. - Caminho y = x: A gente se aproxima de
ao longo da linha onde é igual a .
Passo 4
Analisando o primeiro caminho: y = 1
Substituindo
por 1 na função, fica:
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão simplifica para:
Agora, calculamos o limite quando
:
Então, por esse caminho, o limite é
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o segundo caminho: y = x
Substituindo
por
na função, temos:
Essa expressão dá uma indeterminação, então precisamos escolher outro caminho para provar que o limite não existe.
Analisando o caminho y = 0
Substituindo
por 0 na função:
Aqui, o limite quando
é 1.
Passo 6
Observamos que:
- Pelo caminho y = 1, o limite é
. - Pelo caminho y = 0, o limite é 1.
Como esses valores são diferentes, isso significa que o limite depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de
. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
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Calcular los siguientes límites.
Calcular los siguientes límites:
Calcular los siguientes límites: