Si f(x, y)=3 x^2 y-2 x y, halle:
lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h=

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a função lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h e precisamos calcular o limite
Esse tipo de limite está relacionado ao conceito de derivada parcial em cálculo, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, precisamos substituir f(x+h, y) = 3(x+h)^2y - 2(x+h)y na expressão. Vamos calcular (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 :
f(x+h, y) = 3(x^2 + 2xh + h^2)y - 2(x+h)y
Agora, vamos expandir f(x+h, y) = 3x^2y + 6xhy + 3h^2y - 2xy - 2hy :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, subtraímos f(x+h, y) - f(x, y) = (3x^2y + 6xhy + 3h^2y - 2xy - 2hy) - (3x^2y - 2xy) de f(x+h, y) - f(x, y) = 6xhy + 3h^2y - 2hy :
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, colocamos essa diferença sobre f(x+h, y) - f(x, y)h = 6xhy + 3h^2y - 2hyh :
6xhyh + 3h^2yh - 2hyh = 6xy + 3hy - 2y
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite quando lim h 0 (6xy + 3hy - 2y) = 6xy + 0 - 2y = 6xy - 2y tende a 0:

Resposta

lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h = 6xy - 2y

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