Dada a EDO de segunda ordem
Encontre:
a) Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada
.
a) Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial homogênea associada, que é
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e entender as soluções dessa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma geral:
No nosso caso, os coeficientes são
e
, então a equação fica:
Passo 3
Para encontrar as soluções dessa equação, usamos a equação característica. A gente assume uma solução da forma
e substitui na EDO para encontrar os valores de
. Fazendo isso, temos:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica
. Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 5
Tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
. Isso significa que as raízes são complexas.
Passo 6
Quando as raízes da equação característica são complexas da forma
, a solução geral da EDO homogênea é:
No nosso caso,
e
, então a solução simplifica para:
Resposta
Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea
é
.
Exercícios relacionados
Si
, halle:
Calcular los siguientes límites:
Resolva as EDOs abaixo:
©
©
Dada a EDO de segunda ordem
Encontre:
b) A solução geral da EDO usando o Método dos Coeficientes Indeterminados
b) A solução geral da EDO usando o Método dos Coeficientes Indeterminados