Dada a EDO de segunda ordem Encontre:
a) Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial homogênea associada, que é . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e entender as soluções dessa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma geral:
No nosso caso, os coeficientes são e , então a equação fica:

Passo 3

Para encontrar as soluções dessa equação, usamos a equação característica. A gente assume uma solução da forma e substitui na EDO para encontrar os valores de . Fazendo isso, temos:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica . Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 5

Tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Aqui, é a unidade imaginária, onde . Isso significa que as raízes são complexas.

Passo 6

Quando as raízes da equação característica são complexas da forma , a solução geral da EDO homogênea é:
No nosso caso, e , então a solução simplifica para:

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea é .

Exercícios relacionados

Si , halle:
Calcular los siguientes límites:
Resolva as EDOs abaixo:
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Dada a EDO de segunda ordem Encontre:
b) A solução geral da EDO usando o Método dos Coeficientes Indeterminados