Calcular m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos os valores de m e n de forma que a matriz B seja a inversa da matriz A. A matriz A está definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre matrizes inversas e como encontrá-las, especialmente para matrizes 2x2. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma matriz A ter uma inversa B, duas condições devem ser satisfeitas:
  1. A matriz deve ser quadrada: No nosso caso, A é uma matriz 2x2, então já está ok.
  2. O determinante de A deve ser diferente de zero: Isso garante que a matriz possui uma inversa.
Então, o primeiro passo é calcular o determinante de A.

Passo 3

O determinante de uma matriz 2x2 é calculado assim:
Para que a matriz A tenha uma inversa, esse determinante precisa ser diferente de zero:
Isso significa que m e n não podem ser tais que o produto deles seja 4.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz A. Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
Substituindo o determinante que calculamos:

Passo 5

Agora, queremos que essa inversa A^{-1} seja igual à matriz B. Como B não foi especificada no enunciado, assumimos que B deve ser essa inversa que acabamos de encontrar.
Portanto, os valores de m e n podem ser quaisquer números reais, desde que o produto deles não seja 4, ou seja:

Resposta

Os valores de m e n podem ser quaisquer números reais, desde que o produto deles não seja 4. Ou seja,

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Verificar se a matriz B é inversa da matriz A.
Em cada parte, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares tenha sido reduzida à dada forma escalonada por meio de operações elementares sobre linhas Resolva o sistema.
(a)
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
e)
Determine e reais para que as retas
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.