Determine alpha e beta reais para que as retas
r: X=(1, alpha, 0)+lambda(1,2,1) e s:l x=z-2 y=beta z-1
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.

Passo 1

Tudo bem, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores reais de alpha e beta para que as retas r e s sejam coplanares. Isso está relacionado à geometria analítica, mais especificamente ao estudo de retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, sistemas de equações e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas. A reta r está parametrizada por:
X = (1, alpha, 0) + lambda(1, 2, 1)
Isso significa que a reta r passa pelo ponto (1, alpha, 0) e tem o vetor direção (1, 2, 1).
Já a reta s está definida pelas equações:
l x = z - 2 y = beta z - 1
Aqui, podemos representar a reta s em termos de uma variável paramétrica, digamos z = t, então:
x = t - 2 y = beta t - 1 z = t
Portanto, a reta s passa pelo ponto (-2, -1, 0) e tem o vetor direção (1, beta, 1).

Passo 3

Para que as retas r e s sejam coplanares, elas devem estar no mesmo plano. Isso significa que o vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s deve ser coplanar com os vetores diretores das duas retas.
Vamos pegar um ponto da reta r, que é (1, alpha, 0), e um ponto da reta s, que é (-2, -1, 0). O vetor que liga esses dois pontos é:
w = (-2 - 1, -1 - alpha, 0 - 0) = (-3, -1 - alpha, 0)
Agora, temos os vetores diretores das retas:
u = (1, 2, 1) e v = (1, beta, 1)
Para que os vetores u, v e w sejam coplanares, o determinante formado por eles deve ser zero:
1 & 2 & 1 1 & beta & 1 -3 & -1 - alpha & 0 = 0

Passo 4

Vamos calcular esse determinante:
1 & 2 & 1 1 & beta & 1 -3 & -1 - alpha & 0
Para que o determinante seja zero:
-6 + 3beta = 0 Rightarrow 3beta = 6 Rightarrow beta = 2

Passo 5

Com beta = 2, agora precisamos garantir que ambas as retas estejam no mesmo plano e achar a equação geral desse plano. Vamos usar a equação geral do plano que passa por um ponto e tem um vetor normal.
Primeiro, encontramos dois vetores no plano:
  • O vetor direção da reta r: u = (1, 2, 1)
  • O vetor direção da reta s: v = (1, 2, 1) (já que beta = 2)
Note que os vetores u e v são iguais, o que indica que as retas são paralelas ou coincidentes.
Vamos pegar um ponto da reta r, (1, alpha, 0), e um ponto da reta s, (-2, -1, 0), para encontrar o vetor que liga esses pontos:
w = (-2 - 1, -1 - alpha, 0 - 0) = (-3, -1 - alpha, 0)
Como as retas são coplanares, o vetor w também está no plano. Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que pode ser encontrado pelo produto vetorial de u e w:
n = u times w = i & j & k 1 & 2 & 1 -3 & -1 - alpha & 0 = i(2 cdot 0 - 1 cdot (-1 - alpha)) - j(1 cdot 0 - 1 cdot (-3)) + k(1 cdot (-1 - alpha) - 2 cdot (-3)) = i(0 + 1 + alpha) - j(0 + 3) + k(-1 - alpha + 6) = (1 + alpha)i - 3j + (5 - alpha)k

Passo 6

Agora, a equação do plano é dada por:
n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto do plano, podemos usar (1, alpha, 0), e n = (1 + alpha, -3, 5 - alpha).
Substituindo:
(1 + alpha)(x - 1) - 3(y - alpha) + (5 - alpha)(z - 0) = 0
Simplificando:
(1 + alpha)x - (1 + alpha) - 3y + 3alpha + (5 - alpha)z = 0 Rightarrow (1 + alpha)x - 3y + (5 - alpha)z + (-1 - alpha + 3alpha) = 0 Rightarrow (1 + alpha)x - 3y + (5 - alpha)z + (2alpha -1) = 0

Resposta

Os valores são beta = 2 e qualquer valor de alpha. A equação geral do plano é:
(1 + alpha)x - 3y + (5 - alpha)z + (2alpha -1) = 0

Exercícios relacionados