sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.
Passo 1
Tudo bem, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores reais de e para que as retas e sejam coplanares. Isso está relacionado à geometria analítica, mais especificamente ao estudo de retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, sistemas de equações e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas. A reta está parametrizada por:
Isso significa que a reta passa pelo ponto e tem o vetor direção .
Já a reta está definida pelas equações:
Aqui, podemos representar a reta em termos de uma variável paramétrica, digamos , então:
Portanto, a reta passa pelo ponto e tem o vetor direção .
Passo 3
Para que as retas e sejam coplanares, elas devem estar no mesmo plano. Isso significa que o vetor que liga um ponto da reta a um ponto da reta deve ser coplanar com os vetores diretores das duas retas.
Vamos pegar um ponto da reta , que é , e um ponto da reta , que é . O vetor que liga esses dois pontos é:
Agora, temos os vetores diretores das retas:
Para que os vetores , e sejam coplanares, o determinante formado por eles deve ser zero:
Passo 4
Vamos calcular esse determinante: 1 & 2 & 1 1 & beta & 1 -3 & -1 - alpha & 0
Para que o determinante seja zero:
Com beta = 2, agora precisamos garantir que ambas as retas estejam no mesmo plano e achar a equação geral desse plano. Vamos usar a equação geral do plano que passa por um ponto e tem um vetor normal.
Primeiro, encontramos dois vetores no plano:
O vetor direção da reta r: u = (1, 2, 1)
O vetor direção da reta s: v = (1, 2, 1) (já que beta = 2)
Note que os vetores u e v são iguais, o que indica que as retas são paralelas ou coincidentes.
Vamos pegar um ponto da reta r, (1, alpha, 0), e um ponto da reta s, (-2, -1, 0), para encontrar o vetor que liga esses pontos:
Como as retas são coplanares, o vetor w também está no plano. Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que pode ser encontrado pelo produto vetorial de u e w: