Determine e reais para que as retas
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.

Passo 1

Tudo bem, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores reais de e para que as retas e sejam coplanares. Isso está relacionado à geometria analítica, mais especificamente ao estudo de retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, sistemas de equações e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas. A reta está parametrizada por:
Isso significa que a reta passa pelo ponto e tem o vetor direção .
Já a reta está definida pelas equações:
Aqui, podemos representar a reta em termos de uma variável paramétrica, digamos , então:
Portanto, a reta passa pelo ponto e tem o vetor direção .

Passo 3

Para que as retas e sejam coplanares, elas devem estar no mesmo plano. Isso significa que o vetor que liga um ponto da reta a um ponto da reta deve ser coplanar com os vetores diretores das duas retas.
Vamos pegar um ponto da reta , que é , e um ponto da reta , que é . O vetor que liga esses dois pontos é:
Agora, temos os vetores diretores das retas:
Para que os vetores , e sejam coplanares, o determinante formado por eles deve ser zero:

Passo 4

Vamos calcular esse determinante:

Para que o determinante seja zero:

Passo 5

Com , agora precisamos garantir que ambas as retas estejam no mesmo plano e achar a equação geral desse plano. Vamos usar a equação geral do plano que passa por um ponto e tem um vetor normal.
Primeiro, encontramos dois vetores no plano:
  • O vetor direção da reta :
  • O vetor direção da reta : (já que )
Note que os vetores e são iguais, o que indica que as retas são paralelas ou coincidentes.
Vamos pegar um ponto da reta , , e um ponto da reta , , para encontrar o vetor que liga esses pontos:
Como as retas são coplanares, o vetor também está no plano. Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que pode ser encontrado pelo produto vetorial de e :

Passo 6

Agora, a equação do plano é dada por:
Onde é um ponto do plano, podemos usar , e .
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

Os valores são e qualquer valor de . A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
e)
Calcular m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A.
Determine e para que se tenha:
9. Determinar uma equação vetorial da reta definida pelos pontos e e verificar se os pontos e pertencem a .
A reta passa pelo ponto e é paralela à reta se , determine e .
14. Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e nos seguintes casos:
a)