Calcular a magnitude do vetor a=lambda1 a1+lambda2 a2-lambda3 a3 para os seguintes casos:
  • a1=lang<= 2,-3,1rang<=, a2=lang<=-1,4,2rang<=, a3=lang<= 6,-1,1rang<=, lambda1=2, lambda2=12, lambda3=3.
  • a1=lang<=-4,2,3rang<=, a2=lang<=-5,-4,3rang<=, a3=lang<= 2,-4,3rang<=, lambda1=-1, lambda2=3, lambda3=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a magnitude de um vetor que é uma combinação linear de outros três vetores , e com certos coeficientes , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como soma de vetores e cálculo de magnitude. Vamos precisar somar os vetores multiplicados pelos seus respectivos coeficientes e depois encontrar a magnitude desse vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como combinar os vetores. A fórmula geral é:
a = lambda1 a1 + lambda2 a2 - lambda3 a3
Isso significa que cada componente do vetor é calculada multiplicando cada componente correspondente de , e pelos seus coeficientes e somando ou subtraindo conforme indicado.

Passo 3

Vamos resolver o primeiro caso:

Caso 1:

  • 2a1 = 2 times lang<= 2, -3, 1 rang<= = lang<= 4, -6, 2 rang<=
  • 12a2 = 12 times lang<= -1, 4, 2 rang<= = lang<= -0.5, 2, 1 rang<=
  • -3a3 = -3 times lang<= 6, -1, 1 rang<= = lang<= -18, 3, -3 rang<=
Primeiro, multiplicamos cada vetor pelos seus coeficientes:

Passo 4

Agora, somamos esses vetores resultantes:
a = lang<= 4, -6, 2 rang<= + lang<= -0.5, 2, 1 rang<= + lang<= -18, 3, -3 rang<=
Vamos somar componente por componente:
  • Componente x: a = lang<= -14.5, -1, 0 rang<=
  • Componente y:
  • Componente z:
Então, o vetor fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor. A fórmula para a magnitude de um vetor |a| = raizx^2 + y^2 + z^2 é:
|a| = raiz(-14.5)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz210.25 + 1 + 0 = raiz211.25
Aplicando isso:

Passo 6

Calculando a raiz quadrada:
raiz211.25 approx 14.53
Então, a magnitude do vetor para o primeiro caso é aproximadamente 14.53.

Passo 7

Vamos resolver o segundo caso:

Caso 2:

  • -1a1 = -1 times lang<= -4, 2, 3 rang<= = lang<= 4, -2, -3 rang<=
  • 3a2 = 3 times lang<= -5, -4, 3 rang<= = lang<= -15, -12, 9 rang<=
  • 2a3 = 2 times lang<= 2, -4, 3 rang<= = lang<= 4, -8, 6 rang<=
Primeiro, multiplicamos cada vetor pelos seus coeficientes:
(Note que multiplicamos por )

Passo 8

Agora, somamos esses vetores resultantes:
a = lang<= 4, -2, -3 rang<= + lang<= -15, -12, 9 rang<= + lang<= 4, -8, 6 rang<=
Vamos somar componente por componente:
  • Componente x: a = lang<= -7, -22, 12 rang<=
  • Componente y:
  • Componente z:
Então, o vetor fica:

Passo 9

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor:
|a| = raiz(-7)^2 + (-22)^2 + 12^2 = raiz49 + 484 + 144 = raiz677

Passo 10

Calculando a raiz quadrada:
raiz677 approx 26.03
Então, a magnitude do vetor para o segundo caso é aproximadamente 26.03.

Resposta

  • Caso 1: A magnitude do vetor é aproximadamente 14.53.
  • Caso 2: A magnitude do vetor é aproximadamente 26.03.

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