Determine a posição relativa da reta e do plano .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta e um plano definidos pelas seguintes equações:
  • Reta
  • Plano
Queremos determinar a posição relativa entre a reta e o plano. Ou seja, descobrir se a reta está sobre o plano, se é paralela ao plano ou se intersecta o plano em um único ponto.
Para resolver isso, vamos precisar dos seguintes conceitos:
  1. Parametrização da reta: transformar a equação da reta em uma forma que nos permita obter as coordenadas de qualquer ponto na reta usando um parâmetro.
  2. Substituição na equação do plano: substituir as coordenadas da reta na equação do plano para verificar se existe uma solução que satisfaz a equação.
  3. Interpretação do resultado: com base na solução encontrada, determinar a posição relativa.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Aqui, é o parâmetro. A partir disso, podemos expressar as coordenadas de qualquer ponto na reta em função de :

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano para verificar se existe algum valor de que satisfaça a equação.
A equação do plano é:
Substituindo , e pelas expressões parametrizadas:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Agora, somando os termos semelhantes:

Passo 5

Chegamos a uma equação que não faz sentido matematicamente: . Isso significa que não existe nenhum valor de que satisfaça a equação do plano com a parametrização da reta.

Resposta

A reta é paralela ao plano e não possui pontos em comum com ele.

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  • .
  • .
Se . Calcular
(UFC) O valor do número complexo e:
e)
Dois vértices de um triângulo são os pontos e . Achar o vértice sabendo que ele está sobre o eixo Oy , e a área do triângulo é .