Determine a posição relativa da reta (r): x-13=y+22=z5 e do plano (pi): 2 x+2 y- 2 z-4=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta (r) e um plano (pi) definidos pelas seguintes equações:
  • Reta (r): x-13 = y+22 = z5
  • Plano (pi): 2x + 2y - 2z - 4 = 0
Queremos determinar a posição relativa entre a reta e o plano. Ou seja, descobrir se a reta está sobre o plano, se é paralela ao plano ou se intersecta o plano em um único ponto.
Para resolver isso, vamos precisar dos seguintes conceitos:
  1. Parametrização da reta: transformar a equação da reta em uma forma que nos permita obter as coordenadas de qualquer ponto na reta usando um parâmetro.
  2. Substituição na equação do plano: substituir as coordenadas da reta na equação do plano para verificar se existe uma solução que satisfaz a equação.
  3. Interpretação do resultado: com base na solução encontrada, determinar a posição relativa.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta (r). A equação da reta está na forma simétrica:
x-13 = y+22 = z5 = t
Aqui, t é o parâmetro. A partir disso, podemos expressar as coordenadas (x, y, z) de qualquer ponto na reta em função de t:
x = 1 + 3t
y = -2 + 2t
z = 0 + 5t (ou simp<=smente z = 5t)

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano (pi) para verificar se existe algum valor de t que satisfaça a equação.
A equação do plano é:
2x + 2y - 2z - 4 = 0
Substituindo x, y e z pelas expressões parametrizadas:
2(1 + 3t) + 2(-2 + 2t) - 2(5t) - 4 = 0

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
2(1) + 2(3t) + 2(-2) + 2(2t) - 2(5t) - 4 = 0
2 + 6t - 4 + 4t - 10t - 4 = 0
Agora, somando os termos semelhantes:
(6t + 4t - 10t) + (2 - 4 - 4) = 0
0t - 6 = 0
-6 = 0

Passo 5

Chegamos a uma equação que não faz sentido matematicamente: -6 = 0. Isso significa que não existe nenhum valor de t que satisfaça a equação do plano com a parametrização da reta.

Resposta

A reta (r) é paralela ao plano (pi) e não possui pontos em comum com ele.

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