Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais. (g) O conjunto das funções contínuas em tais que

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que descobrir se um certo conjunto é um espaço vetorial real. O conjunto em questão é o de funções contínuas no intervalo que satisfazem . Para resolver isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto cumpre as propriedades necessárias usando adição e multiplicação escalares que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto em que podemos adicionar dois vetores (no nosso caso, funções) e multiplicar um vetor por um escalar (um número real), e essas operações devem satisfazer certas propriedades, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos, a distributividade, entre outras.

Passo 3

Vamos verificar se o nosso conjunto atende a essas propriedades começando pela fechadura sob adição. Ou seja, se duas funções e pertencem ao conjunto, a soma também pertence?
Se e são contínuas em e e , então:
Então, a soma também está no conjunto. A fechadura sob adição está garantida.

Passo 4

Agora, vamos ver a fechadura sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se está no conjunto e é um número real, então também deve estar no conjunto.
Vamos calcular a integral de :
  • Se , então , então está no conjunto.
  • Mas se , então . Nesse caso, a integral pode ser negativa, o que não pertence ao nosso conjunto.

Passo 5

Como vimos, ao multiplicar uma função do conjunto por um escalar negativo, podemos sair do conjunto porque a integral se torna negativa. Isso significa que o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar para todos os números reais.

Resposta

Não, o conjunto das funções contínuas em com não é um espaço vetorial real com a adição e multiplicação escalares usuais.

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