Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais. (g) O conjunto das funções contínuas em
tais que
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que descobrir se um certo conjunto é um espaço vetorial real. O conjunto em questão é o de funções contínuas no intervalo
que satisfazem
. Para resolver isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto cumpre as propriedades necessárias usando adição e multiplicação escalares que já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto em que podemos adicionar dois vetores (no nosso caso, funções) e multiplicar um vetor por um escalar (um número real), e essas operações devem satisfazer certas propriedades, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos, a distributividade, entre outras.
Passo 3
Vamos verificar se o nosso conjunto atende a essas propriedades começando pela fechadura sob adição. Ou seja, se duas funções
e
pertencem ao conjunto, a soma
também pertence?
Se
e
são contínuas em
e
e
, então:
Então, a soma
também está no conjunto. A fechadura sob adição está garantida.
Passo 4
Agora, vamos ver a fechadura sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se
está no conjunto e
é um número real, então
também deve estar no conjunto.
Vamos calcular a integral de
:
- Se
, então , então está no conjunto. - Mas se
, então . Nesse caso, a integral pode ser negativa, o que não pertence ao nosso conjunto.
Passo 5
Como vimos, ao multiplicar uma função do conjunto por um escalar negativo, podemos sair do conjunto porque a integral se torna negativa. Isso significa que o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar para todos os números reais.
Resposta
Não, o conjunto das funções contínuas em
com
não é um espaço vetorial real com a adição e multiplicação escalares usuais.
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Se
. Calcular
Calcule em cada caso o vetor unitário
na direção de
:
Se
. Calcular
Calcular a magnitude do vetor
para os seguintes casos:
-
. -
.