(UFC) O valor do número complexo e:
e)

Passo 1

Beleza, galera! Temos um número complexo para calcular: . Vamos usar conceitos de números complexos e potências para resolver isso. Primeiro, precisamos entender o que são os números imaginários e como eles se comportam quando elevados a potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente. Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, ou seja, . Então, o numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Primeiro, precisamos saber o valor de . O número imaginário tem um ciclo de 4 quando elevado a potências:
E esse ciclo se repete a cada múltiplo de 4. Então, dependendo do valor de , podemos simplificar .

Passo 4

Observando , podemos ver que:
Isso porque . Então, temos:

Passo 5

Agora, precisamos considerar os possíveis valores de . Se for par, então , e se for ímpar, . Mas como o enunciado não especifica o valor de , vamos assumir que é tal que o denominador não zera (para evitar divisão por zero).

Passo 6

Vamos supor que é par para simplificar. Então:
Agora, substituindo no número complexo original:

Passo 7

No entanto, como uma das opções é , vamos revisar nossa suposição. Se for tal que , isso não seria válido. Então, para que a expressão tenha um valor diferente de 1, precisamos de outra abordagem.

Passo 8

Vamos reavaliar a expressão original:
Para que o resultado seja uma potência de 2, precisamos que , o que só acontece se , o que não é possível. Então, parece que houve um mal-entendido. A resposta correta, considerando , é .

Resposta

A opção correta é .

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