Determine o valor da massa de um fio fino que está ao longo da curva
se a densidade for
.
Assinale a alternativa correta:a.
b.
(○)
c.
d.
se a densidade for
Assinale a alternativa correta:a.
(○)
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente encontrar a massa de um fio fino que segue uma curva específica no espaço. Usaremos conceitos de Cálculo, especialmente sobre integração de massa ao longo de uma curva. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o comprimento diferencial do fio e aplicar a densidade fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva. A curva está definida por:
Aqui,
varia de 0 a 1 e nos dá as coordenadas
,
, e
.
Passo 3
Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade ao longo do comprimento do fio. A fórmula geral para a massa
é:
Onde
é o elemento de comprimento diferencial do fio. Vamos calcular
.
Passo 4
O elemento de comprimento
é dado pela norma da derivada da vetor posição em relação a
:
Vamos calcular
:
Agora, a norma de
é:
Então:
Passo 5
A densidade fornecida é
. Como
, podemos substituir:
Agora, a massa
fica:
Passo 6
Para resolver a integral
, podemos fazer uma substituição u. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Agora, integrando:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por 2 para ajustar a fração:
Resposta
A massa do fio é:
Então, a alternativa correta é a b.
Exercícios relacionados
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
(a) em torno de
;
(b) torno de
© em torno de
; 8
(d) em torno de
(e) em torno de
;
(f) em torno de
;
(g) em torno de
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Calcular a massa de um fio delgado que tem a forma da hélice
se a densidade no ponto
é
.
Assinale a alternativa correta:a. unidades de massab.
unidades de massa
(
c. unidades de massad.
unidades de massa
Limpar minha escolha
Assinale a alternativa correta:a.
(
c.
Limpar minha escolha
Considerere o campo vetorial
e assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a. O campo vetorial
não é conservativo.b. O campo vetorial
é conservativo.c.
d.
d.
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.