Determine o valor da massa de um fio fino que está ao longo da curva
se a densidade for
.
Assinale a alternativa correta:a.
b.
(○)
c.
d.
se a densidade for
Assinale a alternativa correta:a.
(○)
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente encontrar a massa de um fio fino que segue uma curva específica no espaço. Usaremos conceitos de Cálculo, especialmente sobre integração de massa ao longo de uma curva. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o comprimento diferencial do fio e aplicar a densidade fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva. A curva está definida por:
Aqui,
varia de 0 a 1 e nos dá as coordenadas
,
, e
.
Passo 3
Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade ao longo do comprimento do fio. A fórmula geral para a massa
é:
Onde
é o elemento de comprimento diferencial do fio. Vamos calcular
.
Passo 4
O elemento de comprimento
é dado pela norma da derivada da vetor posição em relação a
:
Vamos calcular
:
Agora, a norma de
é:
Então:
Passo 5
A densidade fornecida é
. Como
, podemos substituir:
Agora, a massa
fica:
Passo 6
Para resolver a integral
, podemos fazer uma substituição u. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Agora, integrando:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por 2 para ajustar a fração:
Resposta
A massa do fio é:
Então, a alternativa correta é a b.