Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
(a) f(z) = csc(z) em torno de z0 = 0;
(b) f(z) = z / (z + 1)^3 torno de z0 = -1,84
© f(z) = z / ((z - 1)(z - 3)(z - 5)) em torno de z0 = 1; 8
(d) f(z) = z / ((z - 1)(z - 3)(z - 5)) em torno de z0 = 5 ^ 86
(e) f(z) = csc(z) em torno de z0 = pi;
(f) f(z) = sec(z) em torno de z0 = pi / 2;
(g) f(z) = e^z / z^3 em torno de z0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício: calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno do ponto . Além disso, vamos determinar o anel de convergência dessa expansão. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Laurent e entender onde essa expansão é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . A função é o seno recíproco, ou seja, . Sabemos que tem zeros nos múltiplos de , então terá singularidades nesses pontos, especificamente em , onde é inteiro.

Passo 3

Para encontrar a expansão de Laurent de em torno de , precisamos considerar que é um ponto singular para , já que . A expansão de Laurent permite representar funções com singularidades como essa usando séries que incluem termos negativos de .

Passo 4

Vamos começar expandindo em série de Taylor em torno de :
Como , precisamos inverter essa série para obter a expansão de Laurent de .

Passo 5

Para inverter a série de , vamos reescrever até o termo :
Agora, queremos encontrar . Vamos considerar , então:

Passo 6

Agora, usamos a expansão da série geométrica para , válida quando . Aqui, , então:

Passo 7

Multiplicando isso por , temos:

Passo 8

Então, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de em torno de são:

Passo 9

Agora, vamos determinar o anel de convergência dessa expansão. Sabemos que tem singularidades nos pontos onde , ou seja, nos múltiplos de . Como estamos expandindo em torno de , o próximo ponto singular mais próximo é .

Passo 10

Portanto, a expansão de Laurent converge no anel onde . Isso porque dentro desse intervalo, não existem outras singularidades além de .

Resposta

A expansão de Laurent de em torno de com os primeiros quatro termos é:
O anel de convergência dessa expansão é .

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