Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
(a)
em torno de
;
(b)
torno de
©
em torno de
; 8
(d)
em torno de
(e)
em torno de
;
(f)
em torno de
;
(g)
em torno de
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício: calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno do ponto
. Além disso, vamos determinar o anel de convergência dessa expansão. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Laurent e entender onde essa expansão é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A função
é o seno recíproco, ou seja,
. Sabemos que
tem zeros nos múltiplos de
, então
terá singularidades nesses pontos, especificamente em
, onde
é inteiro.
Passo 3
Para encontrar a expansão de Laurent de
em torno de
, precisamos considerar que
é um ponto singular para
, já que
. A expansão de Laurent permite representar funções com singularidades como essa usando séries que incluem termos negativos de
.
Passo 4
Vamos começar expandindo
em série de Taylor em torno de
:
Como
, precisamos inverter essa série para obter a expansão de Laurent de
.
Passo 5
Para inverter a série de
, vamos reescrever
até o termo
:
Agora, queremos encontrar
. Vamos considerar
, então:
Passo 6
Agora, usamos a expansão da série geométrica para
, válida quando
. Aqui,
, então:
Passo 7
Multiplicando isso por
, temos:
Passo 8
Então, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de
em torno de
são:
Passo 9
Agora, vamos determinar o anel de convergência dessa expansão. Sabemos que
tem singularidades nos pontos onde
, ou seja, nos múltiplos de
. Como estamos expandindo em torno de
, o próximo ponto singular mais próximo é
.
Passo 10
Portanto, a expansão de Laurent converge no anel onde
. Isso porque dentro desse intervalo, não existem outras singularidades além de
.
Resposta
A expansão de Laurent de
em torno de
com os primeiros quatro termos é:
O anel de convergência dessa expansão é
.
Exercícios relacionados
Calcular a massa de um fio delgado que tem a forma da hélice
se a densidade no ponto
é
.
Assinale a alternativa correta:a. unidades de massab.
unidades de massa
(
c. unidades de massad.
unidades de massa
Limpar minha escolha
Assinale a alternativa correta:a.
(
c.
Limpar minha escolha
Calcule
em que a curva
é o segmento de reta do ponto
a
.
Assinale a alternativa correta:a. 14
( b. 7C. -9d. 17
Limpar minha escolha
Assinale a alternativa correta:a. 14
(
Limpar minha escolha
Determine o valor da massa de um fio fino que está ao longo da curva
se a densidade for .
Assinale a alternativa correta:a. b.
(○)
c.
d.
se a densidade for
Assinale a alternativa correta:a.
(○)
c.
d.
Considerere o campo vetorial
e assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a. O campo vetorial
não é conservativo.b. O campo vetorial
é conservativo.c.
d.
d.