Calcular a matriz inversa de:
B=[ccc -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 ]
Gabarito: B^-1=[ccc-143 & -93 & -133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1]

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma matriz 3x3, ou seja, com 3 linhas e 3 colunas. A tarefa é encontrar a inversa dessa matriz . Para isso, a gente vai precisar saber como calcular o determinante da matriz e a matriz adjunta, já que a fórmula da matriz inversa envolve esses conceitos. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz B = -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 . O determinante é importante porque, se ele for diferente de zero, a matriz inversa existe. A matriz det(B) = -3 cdot (1 cdot 4 - 2 cdot (-5)) - 4 cdot (0 cdot 4 - 2 cdot 3) + (-5) cdot (0 cdot (-5) - 1 cdot 3) é:
= -3 cdot (4 + 10) - 4 cdot (0 - 6) + (-5) cdot (0 - 3)
Para uma matriz 3x3, o determinante ( = -3 cdot 14 - 4 cdot (-6) + (-5) cdot (-3) ) é calculado assim:
= -42 + 24 + 15
Vamos resolver cada parte:
= -42 + 39
= -3
Como o determinante é (diferente de zero), a matriz inversa existe.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento de 1 & 2 -5 & 4 .
Para cada elemento 0 & 2 3 & 4 de 0 & 1 3 & -5 , o cofator 4 & -5 -5 & 4 é dado por:
-3 & -5 3 & 4
onde -3 & 4 3 & -5 é a matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de 4 & -5 1 & 2 .
Vamos calcular os cofatores:
  • -3 & -5 0 & 2
  • -3 & 4 0 & 1
  • 14 & 6 & -3 9 & 3 & -3 13 & 6 & -3
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 4

Agora, vamos transpor a matriz dos cofatores para obter a matriz adjunta ( adj(B) = 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3 ):

Passo 5

Com o determinante e a adjunta em mãos, podemos usar a fórmula da matriz inversa:
B^-1 = 1det(B) cdot adj(B)
Substituindo os valores que encontramos:
B^-1 = 1-3 cdot 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3
Isso significa que cada elemento da adjunta será dividido por B^-1 = -143 & -3 & -133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1 :

Resposta

B^-1 = -143 & -93 & -133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1

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