Use a regra de Cramer, se possível, para resolver os sistemas lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a regra de Cramer. A regra de Cramer é uma técnica que usamos em álgebra linear para encontrar as soluções de sistemas quadrados (mesmo número de equações e incógnitas) usando determinantes. Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e, se for diferente de zero, usar a regra para encontrar os valores das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das incógnitas em cada equação e montar a matriz dos coeficientes. Nosso sistema é:
2x + y = 1 2x + 2y + z = 0 y + 2z = 0
A matriz dos coeficientes A = 2 & 1 & 0 2 & 2 & 1 0 & 1 & 2 é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 2 times 2 & 1 1 & 2 - 1 times 2 & 1 0 & 2 + 0 times 2 & 2 0 & 1 , que é essencial para a regra de Cramer. Se o determinante for zero, a regra de Cramer não pode ser aplicada.
2 & 1 1 & 2 = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
Calculando os menores:
2 & 1 0 & 2 = (2)(2) - (1)(0) = 4 - 0 = 4
det(A) = 2 times 3 - 1 times 4 + 0 times (qualquer coisa) = 6 - 4 + 0 = 2
Então:
Como , podemos usar a regra de Cramer.
Passo 4
Vamos encontrar os determinantes 1 0 0 , Ax = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 e det(Ax) = 1 times 2 & 1 1 & 2 - 1 times 0 & 1 0 & 2 + 0 times 0 & 2 0 & 1 = 1 times 3 - 1 times 0 + 0 = 3 substituindo, respectivamente, a coluna de Ay = 2 & 1 & 0 2 & 0 & 1 0 & 0 & 2 , det(Ay) = 2 times 0 & 1 0 & 2 - 1 times 2 & 1 0 & 2 + 0 times 2 & 0 0 & 0 = 2 times 0 - 1 times 4 + 0 = -4 e Az = 2 & 1 & 1 2 & 2 & 0 0 & 1 & 0 pelos termos constantes do sistema (lado direito das equações).
Os termos constantes são det(Az) = 2 times 2 & 0 1 & 0 - 1 times 2 & 0 0 & 0 + 1 times 2 & 2 0 & 1 = 2 times 0 - 1 times 0 + 1 times 2 = 2 .
Para :
Calculando :
Para :
Calculando :
Para :
Calculando :
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de Cramer para encontrar os valores de x = det(Ax)det(A) = 32 , y = det(Ay)det(A) = -42 = -2 e z = det(Az)det(A) = 22 = 1 :