Calcule os determinantes das seguintes matrizes. B=(cccc2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2)

Passo 1

Beleza, então temos uma matriz quadrada de ordem 4 e precisamos calcular o seu determinante. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo o cálculo do determinante de matrizes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes menores, como 2x2, temos uma fórmula simples, mas para matrizes maiores, a gente usa expansão por cofatores ou outras técnicas.

Passo 3

Nossa matriz é uma matriz 4x4 com uma estrutura específica: ela é uma matriz tridiagonal, onde os únicos elementos diferentes de zero estão na diagonal principal e nas duas diagonais adjacentes. Isso facilita um pouco o cálculo porque muitos elementos são zero.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz B = 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2 usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Porém, para uma matriz 4x4, é mais prático usar a regra de Sarrus generalizada ou a técnica de eliminação de Gauss. Vamos optar pela eliminação para simplificar o cálculo.
Primeiro, escrevemos a matriz 2 & -1 & 0 & 0 0 & 32 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2 :
2 & -1 & 0 & 0 0 & 32 & -1 & 0 0 & 0 & 43 & -1 0 & 0 & -1 & 2
Agora, aplicamos operações de linha para transformar a matriz em uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4.1: Zerando o elemento 2 & -1 & 0 & 0 0 & 32 & -1 & 0 0 & 0 & 43 & -1 0 & 0 & 0 & 54 na posição (2,1).
Multiplicamos a primeira linha por e adicionamos à segunda linha:
Passo 4.2: Zerando o elemento na posição (3,2).
Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à terceira linha:
Passo 4.3: Zerando o elemento na posição (4,3).
Multiplicamos a terceira linha por e adicionamos à quarta linha:

Passo 5

Agora que temos uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(B) = 2 times 32 times 43 times 54 = 5

Resposta

O determinante da matriz é igual a 5.

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