Classificar e resolver os sistemas:
4 x-y-3 z & =15 3 x-2 y+5 z & =-7 2 x+3 y+4 z & =7
Gabarito: Compatível e determinado; x=3, y=3 e z=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado apresenta três equações com três incógnitas: , e . Nosso objetivo é classificar o sistema e encontrar os valores dessas variáveis. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como substituição ou eliminação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a visualização:
4x - y - 3z = 15 (1) 3x - 2y + 5z = -7 (2) 2x + 3y + 4z = 7 (3)

Passo 3

Vamos escolher uma das equações para isolar uma das variáveis. Vamos isolar o 4x - y - 3z = 15 Rightarrow -y = 15 - 4x + 3z Rightarrow y = 4x - 3z - 15 (4) na equação (1):

Passo 4

Agora que temos 3x - 2(4x - 3z - 15) + 5z = -7 Rightarrow 3x - 8x + 6z + 30 + 5z = -7 Rightarrow -5x + 11z + 30 = -7 Rightarrow -5x + 11z = -37 (5) em termos de 2x + 3(4x - 3z - 15) + 4z = 7 Rightarrow 2x + 12x - 9z - 45 + 4z = 7 Rightarrow 14x - 5z - 45 = 7 Rightarrow 14x - 5z = 52 (6) e , vamos substituir essa expressão nas equações (2) e (3):
Para a equação (2):
Para a equação (3):

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-5x + 11z = -37 (5) 14x - 5z = 52 (6)
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação multiplicando as equações para igualar os coeficientes de -5x times 14 = -70x 11z times 14 = 154z -37 times 14 = -518 (5') 14x times 5 = 70x -5z times 5 = -25z 52 times 5 = 260 (6') ou -70x + 154z = -518 (5') 70x - 25z = 260 (6') . Vamos multiplicar a equação (5) por 14 e a equação (6) por 5:
Agora temos:

Passo 6

Vamos somar as duas equações para eliminar -70x + 154z + 70x - 25z = -518 + 260 Rightarrow 129z = -258 Rightarrow z = -258129 Rightarrow z = -2 :

Passo 7

Agora que encontramos -5x + 11(-2) = -37 Rightarrow -5x - 22 = -37 Rightarrow -5x = -15 Rightarrow x = 3 , vamos substituir esse valor na equação (5) para encontrar :

Passo 8

Com y = 4(3) - 3(-2) - 15 Rightarrow y = 12 + 6 - 15 Rightarrow y = 3 e , vamos substituir esses valores na equação (4) para encontrar :

Resposta

O sistema é compatível e determinado. Os valores das incógnitas são:
x = 3, y = 3, z = -2

Exercícios relacionados