Determine todos os valores possíveis para , de acordo com os valores do parâmetro .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que depende de um parâmetro . O exercício quer que a gente encontre todos os valores possíveis para , que geralmente representa o polinômio característico da matriz . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o polinômio característico de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico pA(lambda) = det(A - lambda I) de uma matriz é dado por:
onde representa o determinante e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 1 - lambda & 2 & a -2 & 4a - lambda & 2 a & -2 & 1 - lambda no caso de uma matriz 3x3 é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 4a - lambda & 2 -2 & 1 - lambda - 2 cdot det -2 & 2 a & 1 - lambda + a cdot det -2 & 4a - lambda a & -2 :
Vamos calcular cada um desses determinantes menores.
Os valores possíveis para pA(lambda) = -lambda^3 + (4a + 2)lambda^2 + (-4a^2 - 8a + 1)lambda + (4a^3 + 4a^2 - 4a - 4) de acordo com o parâmetro são dados pelo polinômio característico: