Determine todos os valores possíveis para , de acordo com os valores do parâmetro .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que depende de um parâmetro . O exercício quer que a gente encontre todos os valores possíveis para , que geralmente representa o polinômio característico da matriz . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o polinômio característico de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz é dado por:
onde representa o determinante e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade no caso de uma matriz 3x3 é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz :
Vamos calcular cada um desses determinantes menores.
Passo 5
Calculando os determinantes menores:
Passo 6
Substituindo de volta no cálculo do determinante:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.
Passo 7
Expandindo os termos:
Após simplificar, reorganizamos os termos semelhantes para obter o polinômio característico em função de e .
Passo 8
Finalmente, organizando os termos, obtemos o polinômio característico :
Esse é o polinômio que depende do parâmetro .
Resposta
Os valores possíveis para de acordo com o parâmetro são dados pelo polinômio característico: