Determine todos os valores possíveis para pA, de acordo com os valores do parâmetro a.
A=[ccc 1 & 2 & a -2 & 4 a & 2 a & -2 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que depende de um parâmetro . O exercício quer que a gente encontre todos os valores possíveis para , que geralmente representa o polinômio característico da matriz . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o polinômio característico de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico pA(lambda) = det(A - lambda I) de uma matriz é dado por:
onde representa o determinante e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 1 - lambda & 2 & a -2 & 4a - lambda & 2 a & -2 & 1 - lambda no caso de uma matriz 3x3 é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 4a - lambda & 2 -2 & 1 - lambda - 2 cdot det -2 & 2 a & 1 - lambda + a cdot det -2 & 4a - lambda a & -2 :
Vamos calcular cada um desses determinantes menores.

Passo 5

Calculando os determinantes menores:
det 4a - lambda & 2 -2 & 1 - lambda = (4a - lambda)(1 - lambda) - (-2)(2) = (4a - lambda)(1 - lambda) + 4
det -2 & 2 a & 1 - lambda = (-2)(1 - lambda) - (2)(a) = -2 + 2lambda - 2a
det -2 & 4a - lambda a & -2 = (-2)(-2) - (4a - lambda)(a) = 4 - 4a^2 + alambda

Passo 6

Substituindo de volta no cálculo do determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(4a - lambda)(1 - lambda) + 4] - 2(-2 + 2lambda - 2a) + a(4 - 4a^2 + alambda)
Vamos expandir e simplificar essa expressão.

Passo 7

Expandindo os termos:
(1 - lambda)(4a - lambda)(1 - lambda) + 4(1 - lambda) + 4 - 4lambda + 4a + 4a - 4a^3 + a^2lambda
Após simplificar, reorganizamos os termos semelhantes para obter o polinômio característico em função de e .

Passo 8

Finalmente, organizando os termos, obtemos o polinômio característico pA(lambda) = -lambda^3 + (4a + 2)lambda^2 + (-4a^2 - 8a + 1)lambda + (4a^3 + 4a^2 - 4a - 4) :
Esse é o polinômio que depende do parâmetro .

Resposta

Os valores possíveis para pA(lambda) = -lambda^3 + (4a + 2)lambda^2 + (-4a^2 - 8a + 1)lambda + (4a^3 + 4a^2 - 4a - 4) de acordo com o parâmetro são dados pelo polinômio característico:

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