Calcular a matriz inversa das matrizes:
A=[ll3 & 5 1 & 2]
C=[llll1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 1 & 0 4 & 3 & 2 & 1]
B=[rrr-3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4]
D=[ccc-4 & 0 & -10 -2 & -4 & -4 2 & -2 & 6]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a matriz inversa de quatro matrizes diferentes: , , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e o método da matriz adjunta. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, eu vou explicar tudo direitinho enquanto a gente resolve.

Passo 2

Vamos começar pela matriz A = 3 & 5 1 & 2 :
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Para encontrar a inversa de uma matriz A = a & b c & d , usamos a seguinte fórmula:
Onde são os elementos da matriz :

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = ad - bc = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1 :
Ótimo, como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 11 2 & -5 -1 & 3 = 2 & -5 -1 & 3

Passo 5

Vamos para a matriz C = 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 1 & 0 4 & 3 & 2 & 1 :
Essa matriz é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal. A boa notícia é que matrizes triangulares com elementos não nulos na diagonal são invertíveis, e a inversa também será triangular inferior.

Passo 6

Para encontrar C^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & 0 -2 & 3 & -2 & 1 , vamos usar o método de substituição. Observamos que, devido à estrutura de , a inversa terá zeros acima da diagonal e precisamos determinar os elementos abaixo da diagonal.
Após realizar os cálculos (que podem ser extensos), a inversa é:

Passo 7

Agora, vamos para a matriz B = -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 :
Para matrizes , a inversa pode ser encontrada usando a matriz adjunta e o determinante.

Passo 8

Primeiro, calculamos o determinante de det(B) = -3 cdot (1 cdot 4 - 2 cdot (-5)) - 4 cdot (0 cdot 4 - 2 cdot 3) -5 cdot (0 cdot (-5) -1 cdot 3) :
det(B) = -3 cdot (4 + 10) - 4 cdot (0 - 6) -5 cdot (0 -3)
det(B) = -3 cdot 14 -4 cdot (-6) -5 cdot (-3) = -42 +24 +15 = -3
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.

Passo 9

Agora, encontramos a matriz dos cofatores de B^-1 = 1-3 (1)(4) - (2)(-5) & -[(0)(4) - (2)(3)] & (0)(-5) - (1)(3) -[(4)(4) - (-5)(3)] & ( -3)(4) - (-5)(3) & - [(-3)(-5) - (4)(3)] (4)(-5) - (1)(3) & - [(-3)(-5) - (0)(3)] & ( -3)(1) - (0)(4) , depois a transposição para obter a adjunta, e finalmente multiplicamos pela B^-1 = 1-3 4 +10 & - (0 -6) & 0 -3 - (16 +15) & -12 +15 & - (15 -12) -20 -3 & - (15 -0) & -3 -0 :
Após os cálculos, a inversa B^-1 = 1-3 14 & 6 & -3 -31 & 3 & -3 -23 & -15 & -3 = -14/3 & -2 & 1 31/3 & -1 & 1 23/3 & 5 & 1 é:

Passo 10

Por fim, vamos para a matriz D = -4 & 0 & -10 -2 & -4 & -4 2 & -2 & 6 :
Novamente, usaremos a matriz adjunta e o determinante para encontrar a inversa.

Passo 11

Primeiro, calculamos o determinante de det(D) = -4 cdot (-4 cdot 6 - (-4) cdot (-2)) -0 cdot (-2 cdot 6 - (-4) cdot 2) -10 cdot (-2 cdot (-2) - (-4) cdot 2) :
det(D) = -4 cdot (-24 -8) -0 cdot (-12 - (-8)) -10 cdot (4 - (-8))
det(D) = -4 cdot (-32) -0 cdot (-4) -10 cdot 12 = 128 -0 -120 = 8
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.

Passo 12

Agora, encontramos a matriz dos cofatores de D^-1 = 18 (-4)(6) - (-4)(-2) & - [(-2)(6) - (-4)(2)] & (-2)(-2) - (-4)(2) - [0 cdot 6 - (-10) cdot (-2)] & (-4)(-4) - (-10)(2) & - [(-4)(-2) - 0 cdot 2] 0 cdot (-4) - (-10)(-4) & - [(-4)(-10) - 0 cdot (-2)] & (-4)(-4) - 0 cdot 0 , transpondo para obter a adjunta e multiplicamos por D^-1 = 18 -24 -8 & - (-12 -8) & 4 - (-8) - (0 -20) & 16 - (-20) & - (8 -0) 0 -40 & - (40 -0) & 16 -0 :
Após os cálculos, a inversa D^-1 = 18 -32 & 20 & 12 20 & 36 & -8 -40 & -40 & 16 = -4 & 2.5 & 1.5 2.5 & 4.5 & -1 -5 & -5 & 2 é:

Resposta

As matrizes inversas são:
A^-1 = 2 & -5 -1 & 3
C^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & 0 -2 & 3 & -2 & 1
B^-1 = -143 & -2 & 1 313 & -1 & 1 233 & 5 & 1
D^-1 = -4 & 2.5 & 1.5 2.5 & 4.5 & -1 -5 & -5 & 2

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