Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a matriz inversa de quatro matrizes diferentes: , , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e o método da matriz adjunta. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, eu vou explicar tudo direitinho enquanto a gente resolve.
Passo 2
Vamos começar pela matriz A = 3 & 5 1 & 2 :
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Para encontrar a inversa de uma matriz A = a & b c & d , usamos a seguinte fórmula:
Onde são os elementos da matriz :
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = ad - bc = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1 :
Ótimo, como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.
Essa matriz é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal. A boa notícia é que matrizes triangulares com elementos não nulos na diagonal são invertíveis, e a inversa também será triangular inferior.
Passo 6
Para encontrar C^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & 0 -2 & 3 & -2 & 1 , vamos usar o método de substituição. Observamos que, devido à estrutura de , a inversa terá zeros acima da diagonal e precisamos determinar os elementos abaixo da diagonal.
Após realizar os cálculos (que podem ser extensos), a inversa é:
Passo 7
Agora, vamos para a matriz B = -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 :
Para matrizes , a inversa pode ser encontrada usando a matriz adjunta e o determinante.