Calcular a matriz inversa das matrizes:



Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a matriz inversa de quatro matrizes diferentes: , , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e o método da matriz adjunta. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, eu vou explicar tudo direitinho enquanto a gente resolve.

Passo 2

Vamos começar pela matriz :
Para encontrar a inversa de uma matriz , usamos a seguinte fórmula:
Onde são os elementos da matriz :

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o determinante de :
Ótimo, como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:

Passo 5

Vamos para a matriz :
Essa matriz é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal. A boa notícia é que matrizes triangulares com elementos não nulos na diagonal são invertíveis, e a inversa também será triangular inferior.

Passo 6

Para encontrar , vamos usar o método de substituição. Observamos que, devido à estrutura de , a inversa terá zeros acima da diagonal e precisamos determinar os elementos abaixo da diagonal.
Após realizar os cálculos (que podem ser extensos), a inversa é:

Passo 7

Agora, vamos para a matriz :
Para matrizes , a inversa pode ser encontrada usando a matriz adjunta e o determinante.

Passo 8

Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.

Passo 9

Agora, encontramos a matriz dos cofatores de , depois a transposição para obter a adjunta, e finalmente multiplicamos pela :
Após os cálculos, a inversa é:

Passo 10

Por fim, vamos para a matriz :
Novamente, usaremos a matriz adjunta e o determinante para encontrar a inversa.

Passo 11

Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.

Passo 12

Agora, encontramos a matriz dos cofatores de , transpondo para obter a adjunta e multiplicamos por :
Após os cálculos, a inversa é:

Resposta

As matrizes inversas são:

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