Encontrar equações simétrica da reta que passa por A (-1, 2,3 ) e é, simultaneamente, ortogonal às retas r1 e r2:
r1: x-2=y+12=z3
r2:l x=3 t y=-t+1 z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação simétrica de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular (ou ortogonal) às retas e . Para isso, vamos trabalhar com vetores diretores e usar conhecimentos de geometria analítica, como vetores ortogonais e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x - x0a = y - y0b = z - z0c e r1: x - 2 = y + 12 = z3 . A equação simétrica de uma reta pode ser representada como:
r2: x = 3t y = -t + 1 z = 2
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Para a reta :
O vetor diretor de é .
Para a reta :
O vetor diretor de é .

Passo 3

Como a reta que estamos procurando deve ser perpendicular às retas d = d1 times d2 e , o vetor diretor dessa reta precisa ser ortogonal tanto a quanto a . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos e , podemos usar o produto vetorial:

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial d1 = (1, 2, 3) d2 = (3, -1, 0) :
d = i & j & k 1 & 2 & 3 3 & -1 & 0 = i(2 cdot 0 - 3 cdot (-1)) - j(1 cdot 0 - 3 cdot 3) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 3)
O produto vetorial é dado por:
d = i(0 + 3) - j(0 - 9) + k(-1 - 6) d = 3i + 9j - 7k d = (3, 9, -7)
Calculando cada componente:

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor x - (-1)3 = y - 29 = z - 3-7 e sabemos que a reta passa pelo ponto x + 13 = y - 29 = z - 3-7 , podemos escrever a equação simétrica da reta.
A equação simétrica fica:
Simplificando:

Resposta

A equação simétrica da reta procurada é:
x + 13 = y - 29 = z - 3-7

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