Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema linear homogêneo do tipo . Aqui, a matriz é dada por:
O que queremos é encontrar um conjunto de vetores que, quando combinados linearmente, geram todas as soluções possíveis desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como redução de matrizes e identificação de variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que é a matriz seguida pela coluna de zeros (já que o sistema é homogêneo):
Nossa missão é simplificar essa matriz para encontrar as soluções.

Passo 3

Vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Começamos eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna).
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
  • Segunda linha - Primeira linha:
  • Terceira linha - 2 vezes a primeira linha:
Nossa matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (3,2) seja zero. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 1/2 e subtrair da terceira linha.
Multiplicando a segunda linha por 1/2:
Subtraindo essa nova segunda linha da terceira linha:
A matriz fica então:

Passo 5

Observamos que a terceira equação agora é:
Para simplificar, podemos multiplicar essa equação por 2 para eliminar o coeficiente fracionário:
Isso nos diz que é igual a zero.

Passo 6

Voltando para a segunda equação:
Sabemos que , então a equação simplifica para:
Aqui, vemos que pode ser qualquer valor real, e depende de .

Passo 7

Finalmente, voltamos para a primeira equação:
Então, também depende de .

Passo 8

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de (que é uma variável livre):
Isso significa que a solução geral do sistema pode ser escrita como:

Resposta

Um conjunto de geradores para o espaço solução é o vetor:

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Determinar o vetor , paralelo ao vetor , tal que
Sejam os vetores e w com abscissas 3 , ordenada 4 e cota . Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 20 u.v. (unidades de volume).