Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema linear homogêneo do tipo . Aqui, a matriz é dada por:
O que queremos é encontrar um conjunto de vetores que, quando combinados linearmente, geram todas as soluções possíveis desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como redução de matrizes e identificação de variáveis livres.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que é a matriz seguida pela coluna de zeros (já que o sistema é homogêneo):
Nossa missão é simplificar essa matriz para encontrar as soluções.
Passo 3
Vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Começamos eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna).
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Segunda linha - Primeira linha:
Terceira linha - 2 vezes a primeira linha:
Nossa matriz agora fica:
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (3,2) seja zero. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 1/2 e subtrair da terceira linha.
Multiplicando a segunda linha por 1/2:
Subtraindo essa nova segunda linha da terceira linha:
A matriz fica então:
Passo 5
Observamos que a terceira equação agora é:
Para simplificar, podemos multiplicar essa equação por 2 para eliminar o coeficiente fracionário:
Isso nos diz que é igual a zero.
Passo 6
Voltando para a segunda equação:
Sabemos que , então a equação simplifica para:
Aqui, vemos que pode ser qualquer valor real, e depende de .
Passo 7
Finalmente, voltamos para a primeira equação:
Então, também depende de .
Passo 8
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de (que é uma variável livre):
Isso significa que a solução geral do sistema pode ser escrita como:
Resposta
Um conjunto de geradores para o espaço solução é o vetor: