Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema linear homogêneo do tipo A = 1 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 3 & 1 2 & 1 & 3 & 1 . Aqui, a matriz é dada por:
O que queremos é encontrar um conjunto de vetores que, quando combinados linearmente, geram todas as soluções possíveis desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como redução de matrizes e identificação de variáveis livres.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que é a matriz 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 1 & 2 & 3 & 1 & | & 0 2 & 1 & 3 & 1 & | & 0 seguida pela coluna de zeros (já que o sistema é homogêneo):
Nossa missão é simplificar essa matriz para encontrar as soluções.
Passo 3
Vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Começamos eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna).
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (3,2) seja zero. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 1/2 e subtrair da terceira linha.
Multiplicando a segunda linha por 1/2:
12 times (0, 2, 2, 1 | 0) = (0, 1, 1, 0.5 | 0)
Subtraindo essa nova segunda linha da terceira linha: