Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo A X=0, em que A=[llll1 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 3 & 1 2 & 1 & 3 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema linear homogêneo do tipo A = 1 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 3 & 1 2 & 1 & 3 & 1 . Aqui, a matriz é dada por:
O que queremos é encontrar um conjunto de vetores que, quando combinados linearmente, geram todas as soluções possíveis desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como redução de matrizes e identificação de variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que é a matriz 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 1 & 2 & 3 & 1 & | & 0 2 & 1 & 3 & 1 & | & 0 seguida pela coluna de zeros (já que o sistema é homogêneo):
Nossa missão é simplificar essa matriz para encontrar as soluções.

Passo 3

Vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Começamos eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna).
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
  • Segunda linha - Primeira linha:
(1-1, 2-0, 3-1, 1-0 | 0-0) Rightarrow (0, 2, 2, 1 | 0)
  • Terceira linha - 2 vezes a primeira linha:
(2-2 times 1, 1-2 times 0, 3-2 times 1, 1-2 times 0 | 0-0) Rightarrow (0, 1, 1, 1 | 0)
Nossa matriz agora fica:
1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 2 & 2 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (3,2) seja zero. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 1/2 e subtrair da terceira linha.
Multiplicando a segunda linha por 1/2:
12 times (0, 2, 2, 1 | 0) = (0, 1, 1, 0.5 | 0)
Subtraindo essa nova segunda linha da terceira linha:
(0-0, 1-1, 1-1, 1-0.5 | 0-0) Rightarrow (0, 0, 0, 0.5 | 0)
A matriz fica então:
1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 2 & 2 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0.5 & | & 0

Passo 5

Observamos que a terceira equação agora é:
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0.5x4 = 0
Para simplificar, podemos multiplicar essa equação por 2 para eliminar o coeficiente fracionário:
0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 0 Rightarrow x4 = 0
Isso nos diz que é igual a zero.

Passo 6

Voltando para a segunda equação:
0x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0
Sabemos que 2x2 + 2x3 = 0 Rightarrow x2 = -x3 , então a equação simplifica para:
Aqui, vemos que pode ser qualquer valor real, e depende de .

Passo 7

Finalmente, voltamos para a primeira equação:
x1 + 0x2 + x3 + 0x4 = 0 Rightarrow x1 = -x3
Então, também depende de .

Passo 8

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de x1 = -x3, x2 = -x3, x3 = x3, x4 = 0 (que é uma variável livre):
x1 x2 x3 x4 = x3 -1 -1 1 0
Isso significa que a solução geral do sistema pode ser escrita como:

Resposta

Um conjunto de geradores para o espaço solução é o vetor:
-1 -1 1 0

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