Dado os vetores e o vetor determinado pelos pontos e , mostre que (UxV) é ortogonal a U.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores: e que é definido pelos pontos e . Precisamos mostrar que o produto vetorial é ortogonal ao vetor . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e propriedade de ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor . Como é o vetor que vai de para , calculamos subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 4
Para mostrar que é ortogonal a , precisamos calcular o produto escalar entre eles e verificar se é zero. O produto escalar de e é:
Aplicando isso:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.