Dado os vetores e o vetor determinado pelos pontos e , mostre que (UxV) é ortogonal a U.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores: e que é definido pelos pontos e . Precisamos mostrar que o produto vetorial é ortogonal ao vetor . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e propriedade de ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor . Como é o vetor que vai de para , calculamos subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
= i(1) - j(19) + k(8)
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 4
Para mostrar que a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 é ortogonal a u times v cdot u = (1)(3) + (-19)(1) + (8)(2) = 3 - 19 + 16 , precisamos calcular o produto escalar entre eles e verificar se é zero. O produto escalar de = 0 e é:
Aplicando isso:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.