Dado os vetores u=3 i+j+2 j e o vetor v=A B determinado pelos pontos A(3,2,1) e B(1,4,6), mostre que (UxV) é ortogonal a U.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores: e que é definido pelos pontos e . Precisamos mostrar que o produto vetorial é ortogonal ao vetor . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e propriedade de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor v = B - A = (1-3)i + (4-2)j + (6-1)k = -2i + 2j + 5k . Como é o vetor que vai de para , calculamos subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 . O produto vetorial entre dois vetores u times v = i & j & k 3 & 1 & 2 -2 & 2 & 5 e u times v = i(1 cdot 5 - 2 cdot 2) - j(3 cdot 5 - 2 cdot (-2)) + k(3 cdot 2 - 1 cdot (-2)) é dado por:
= i(5 - 4) - j(15 + 4) + k(6 + 2)
Aplicando isso aos nossos vetores:
= i(1) - j(19) + k(8)
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 4

Para mostrar que a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 é ortogonal a u times v cdot u = (1)(3) + (-19)(1) + (8)(2) = 3 - 19 + 16 , precisamos calcular o produto escalar entre eles e verificar se é zero. O produto escalar de = 0 e é:
Aplicando isso:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.

Resposta

O produto vetorial é ortogonal a .

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