Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da decomposição LU c3 x-8 y-9 z=14 7 x+3 y+2 z=-12 -8 x-9 y+6 z=11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da decomposição LU. Basicamente, vamos quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Para isso, precisamos conhecer um pouco de álgebra linear, como matrizes, operações com elas e a ideia de triangularização. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:

[
3 & -8 & -9 7 & 3 & 2 -8 & -9 & 6 x y z = 14 -12 11


]
Aqui, a matriz à esquerda contém os coeficientes das variáveis, e a coluna da direita são os termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz de coeficientes em L e U. Começamos com a matriz L sendo uma matriz identidade e a matriz U igual à matriz de coeficientes:
L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , U = 3 & -8 & -9 7 & 3 & 2 -8 & -9 & 6

Passo 4

Vamos eliminar o elemento abaixo de 3 na primeira coluna de U. Para isso, calculamos o fator U2 = U2 - l21 times U1 7 - 73 times 3 = 0 3 - 73 times (-8) = 3 + 563 = 653 2 - 73 times (-9) = 2 + 21 = 23 e subtraímos L = 1 & 0 & 0 73 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , U = 3 & -8 & -9 0 & 653 & 23 -8 & -9 & 6 vezes a primeira linha da segunda linha:
Atualizando L e U:

Passo 5

Agora, eliminamos o elemento abaixo de 3 na primeira coluna da terceira linha. Calculamos -8 - -83 times 3 = 0 -9 - -83 times (-8) = -9 - 643 = -913 6 - -83 times (-9) = 6 - 24 = -18 e subtraímos L = 1 & 0 & 0 73 & 1 & 0 -83 & 0 & 1 , U = 3 & -8 & -9 0 & 653 & 23 0 & -913 & -18 vezes a primeira linha da terceira linha:
Atualizando L e U:

Passo 6

Vamos agora eliminar o elemento abaixo de 0 - (-9165) times 0 = 0 -913 - (-9165) times 653 = 0 -18 - (-9165) times 23 = -18 + 209365 = -1170 + 209365 = 92365 na segunda coluna. Calculamos L = 1 & 0 & 0 73 & 1 & 0 -83 & -9165 & 1 , U = 3 & -8 & -9 0 & 653 & 23 0 & 0 & 92365 e subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Atualizando L e U:

Passo 7

Agora que temos U triangularizada, podemos resolver o sistema y1 = 14 73 y1 + y2 = -12 -83 y1 - 9165 y2 + y3 = 11 e depois 983 + y2 = -12 y2 = -12 - 983 = -1443 - 983 = -2423 .
Primeiro, resolvemos -83 times 14 - 9165 times (-2423) + y3 = 11 -1123 + 22022195 + y3 = 11 y3 = 11 + 1123 - 22022195 :
y3 approx 11 + 37.33 - 113.18 approx -64.85
Calculando .
Substituindo em :
Agora, substituindo e na terceira equação:
Calculando os valores:

Passo 8

Agora, resolvemos 3x - 8y - 9z = 14 653 y + 23 z = -12 92365 z = -64.85 :
z = -64.85 times 65923 approx -4.56
Primeiro, encontramos 653 y + 23 times (-4.56) = -12 653 y - 104.88 = -12 653 y = 92.88 y approx 92.88 times 365 approx 4.29 :
3x - 8 times 4.29 - 9 times (-4.56) = 14 3x - 34.32 + 41.04 = 14 3x + 6.72 = 14 3x = 7.28 x approx 2.43
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente , e .

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