Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da decomposição LU
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da decomposição LU. Basicamente, vamos quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Para isso, precisamos conhecer um pouco de álgebra linear, como matrizes, operações com elas e a ideia de triangularização. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
[
]
Aqui, a matriz à esquerda contém os coeficientes das variáveis, e a coluna da direita são os termos constantes.
Passo 3
Agora, vamos decompor a matriz de coeficientes em L e U. Começamos com a matriz L sendo uma matriz identidade e a matriz U igual à matriz de coeficientes:
Passo 4
Vamos eliminar o elemento abaixo de 3 na primeira coluna de U. Para isso, calculamos o fator e subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha:
Atualizando L e U:
Passo 5
Agora, eliminamos o elemento abaixo de 3 na primeira coluna da terceira linha. Calculamos e subtraímos vezes a primeira linha da terceira linha:
Atualizando L e U:
Passo 6
Vamos agora eliminar o elemento abaixo de na segunda coluna. Calculamos e subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Atualizando L e U:
Passo 7
Agora que temos U triangularizada, podemos resolver o sistema e depois .