Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da decomposição LU

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da decomposição LU. Basicamente, vamos quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Para isso, precisamos conhecer um pouco de álgebra linear, como matrizes, operações com elas e a ideia de triangularização. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:

[


]
Aqui, a matriz à esquerda contém os coeficientes das variáveis, e a coluna da direita são os termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz de coeficientes em L e U. Começamos com a matriz L sendo uma matriz identidade e a matriz U igual à matriz de coeficientes:

Passo 4

Vamos eliminar o elemento abaixo de 3 na primeira coluna de U. Para isso, calculamos o fator e subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha:
Atualizando L e U:

Passo 5

Agora, eliminamos o elemento abaixo de 3 na primeira coluna da terceira linha. Calculamos e subtraímos vezes a primeira linha da terceira linha:
Atualizando L e U:

Passo 6

Vamos agora eliminar o elemento abaixo de na segunda coluna. Calculamos e subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Atualizando L e U:

Passo 7

Agora que temos U triangularizada, podemos resolver o sistema e depois .
Primeiro, resolvemos :
Calculando .
Substituindo em :
Agora, substituindo e na terceira equação:
Calculando os valores:

Passo 8

Agora, resolvemos :
Primeiro, encontramos :
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente , e .

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a) e r:
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