Calcular o momento de Inércia de uma esfera homogênea: (a) em relação a um eixo que passa pelo seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o momento de inércia de uma esfera homogênea em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e usar a fórmula certa para uma esfera sólida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele mede quanta dificuldade tem para girar um objeto em torno de um eixo. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar. A fórmula geral para o momento de inércia de um objeto é:
onde é a distância de cada parte do objeto ao eixo de rotação e é uma pequena massa do objeto.

Passo 3

Para uma esfera homogênea, a distribuição de massa é uniforme. Isso significa que a massa está espalhada igualmente em todo o volume da esfera. A fórmula específica para o momento de inércia de uma esfera sólida em relação a um eixo que passa pelo seu centro é derivada usando cálculo integral, mas a gente já pode usar a fórmula padrão:
onde:
  • é a massa da esfera,
  • é o raio da esfera.

Passo 4

Vamos entender de onde vem essa fórmula. A constante aparece quando se calcula o momento de inércia de uma esfera sólida usando integrais, considerando a distribuição homogênea de massa. Isso leva em conta que a massa está distribuída a diferentes distâncias do eixo de rotação.

Passo 5

Então, para calcular o momento de inércia da esfera, basta substituir os valores da massa e do raio na fórmula:

Resposta

O momento de inércia da esfera homogênea em relação a um eixo que passa pelo seu centro é:

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento de um tubo que tem frequência fundamental de 240 Hz supondo que o tubo é (b) aberto nas duas extremidades.
Temos 4 corpos ligados por barrotes muito leves cujos momentos de inércia podem ser desprezados. O sistema gira entorno do eixo dos y com velocidade angular de . (a) Determinar a velocidade escalar de cada corpo e usá-la para calcular a energia cinética do sistema diretamente.
Um disco uniforme de 30 cm de raio,espessura de 3 cm e massa 5 kg gira a em torno de um eixo paralelo ao de simetria na posição deste eixo. (a) Determinar a força líquida sobre os mancais devida a este desequilíbrio.
(B)
9a
Uma roda de bicicleta está montada no meio de um eixo de 60 cm . O pneumático e o aro pesam 36 N e têm o raio de 30 cm . A roda gira a 10 rps e o eixo é então colocado numa posição horizontal com uma extremidade apoiada num mancal. (a) Qual é o momento angular devido ao giro da roda?.