Calcular o momento de Inércia de uma esfera homogênea: (a) em relação a um eixo que passa pelo seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o momento de inércia de uma esfera homogênea em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e usar a fórmula certa para uma esfera sólida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele mede quanta dificuldade tem para girar um objeto em torno de um eixo. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar. A fórmula geral para o momento de inércia I = integral r^2 , dm de um objeto é:
onde é a distância de cada parte do objeto ao eixo de rotação e é uma pequena massa do objeto.

Passo 3

Para uma esfera homogênea, a distribuição de massa é uniforme. Isso significa que a massa está espalhada igualmente em todo o volume da esfera. A fórmula específica para o momento de inércia de uma esfera sólida em relação a um eixo que passa pelo seu centro é derivada usando cálculo integral, mas a gente já pode usar a fórmula padrão:
I = 25 m r^2
onde:
  • é a massa da esfera,
  • é o raio da esfera.

Passo 4

Vamos entender de onde vem essa fórmula. A constante aparece quando se calcula o momento de inércia de uma esfera sólida usando integrais, considerando a distribuição homogênea de massa. Isso leva em conta que a massa está distribuída a diferentes distâncias do eixo de rotação.

Passo 5

Então, para calcular o momento de inércia da esfera, basta substituir os valores da massa I = 25 m r^2 e do raio na fórmula:

Resposta

O momento de inércia da esfera homogênea em relação a um eixo que passa pelo seu centro é:
I = 25 m r^2

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