Calcular n para que o ângulo entre os vetores v=(-3,1, n) e k seja de 30^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de para que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a fórmula que relaciona o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e a cdot b = |a| , |b| cos(theta) , o produto escalar é dado por:
Além disso, o produto escalar também pode ser expresso em termos do módulo (comprimento) dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:
Onde é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

No nosso caso, temos v cdot k = (-3)(0) + (1)(0) + (n)(1) = n e . Geralmente, é o vetor unitário na direção do eixo z, ou seja, .
Vamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 4

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores. O módulo de |v| = raiz(-3)^2 + 1^2 + n^2 = raiz9 + 1 + n^2 = raiz10 + n^2 é:
|k| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
E o módulo de é:

Passo 5

Sabemos que o ângulo v cdot k = |v| , |k| cos(30^circ) entre os vetores é n = raiz10 + n^2 times 1 times cos(30^circ) . Então, usando a fórmula do produto escalar:
cos(30^circ) = raiz32
Substituindo os valores que já encontramos:
n = raiz10 + n^2 times raiz32
E sabemos que:
Então:

Passo 6

Vamos resolver agora para n = raiz32 raiz10 + n^2 . Primeiro, vamos isolar o termo com a raiz:
n^2 = ( raiz32 )^2 (10 + n^2)
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
n^2 = 34 (10 + n^2)
4n^2 = 3(10 + n^2)
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
4n^2 = 30 + 3n^2
Distribuindo o 3:
n^2 = 30
Subtraindo n = raiz30 ou n = -raiz30 de ambos os lados:
Então, tirando a raiz quadrada:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

Exercícios relacionados