Calcular
para que o ângulo entre os vetores
e
seja de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de
para que o ângulo entre os vetores
e
seja de
. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a fórmula que relaciona o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Além disso, o produto escalar também pode ser expresso em termos do módulo (comprimento) dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:
Onde
é o ângulo entre os vetores.
Passo 3
No nosso caso, temos
e
. Geralmente,
é o vetor unitário na direção do eixo z, ou seja,
.
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores. O módulo de
é:
E o módulo de
é:
Passo 5
Sabemos que o ângulo
entre os vetores é
. Então, usando a fórmula do produto escalar:
Substituindo os valores que já encontramos:
E sabemos que:
Então:
Passo 6
Vamos resolver agora para
. Primeiro, vamos isolar o termo com a raiz:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Distribuindo o 3:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, tirando a raiz quadrada:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.
Exercícios relacionados
Calcular o valor de
de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja
.
Identifique a cônica de equação
e faça dela um esboço. Deixe bem claro no esboço a direção dos eixos da cônica e a posição de seu centro com relação aos eixos coordenados
e
.
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
c)
c)
Sejam dois vetores
e
não paralelos. Fornecer uma fórmula para calcular o área do triângulo
determinado pelos vetores dados.