Calcular para que o ângulo entre os vetores e seja de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de para que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a fórmula que relaciona o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Além disso, o produto escalar também pode ser expresso em termos do módulo (comprimento) dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:
Onde é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

No nosso caso, temos e . Geralmente, é o vetor unitário na direção do eixo z, ou seja, .
Vamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 4

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores. O módulo de é:
E o módulo de é:

Passo 5

Sabemos que o ângulo entre os vetores é . Então, usando a fórmula do produto escalar:
Substituindo os valores que já encontramos:
E sabemos que:
Então:

Passo 6

Vamos resolver agora para . Primeiro, vamos isolar o termo com a raiz:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Distribuindo o 3:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, tirando a raiz quadrada:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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Calcular o valor de de modo que o ângulo entre os vetores e seja .
Identifique a cônica de equação
e faça dela um esboço. Deixe bem claro no esboço a direção dos eixos da cônica e a posição de seu centro com relação aos eixos coordenados e .
Sejam e . Identifique os casos em que temos um produto interno definido em . Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
c)
Sejam dois vetores e não paralelos. Fornecer uma fórmula para calcular o área do triângulo determinado pelos vetores dados.