Identifique a cônica de equação
e faça dela um esboço. Deixe bem claro no esboço a direção dos eixos da cônica e a posição de seu centro com relação aos eixos coordenados e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de segunda grau que representa uma cônica:
Nossa missão aqui é identificar que tipo de cônica é essa (pode ser uma elipse, hipérbole, parábola, etc.) e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as cônicas e como identificar cada uma através da equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação de segunda grau na forma geral é:
No nosso caso, temos:
Para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante , que é dado por:
Vamos calcular esse valor com nossos coeficientes.

Passo 3

Calculando o discriminante:
Como , sabemos que a cônica é uma elipse, porque o discriminante negativo indica que os coeficientes de e têm o mesmo sinal.

Passo 4

Agora que sabemos que é uma elipse, vamos encontrar o centro dessa elipse. Quando os termos lineares ( e ) são zero, o centro está na origem do sistema de coordenadas, ou seja, em .

Passo 5

Para desenhar o esboço da elipse, precisamos identificar a direção dos seus eixos principais. Isso envolve diagonalizar a matriz associada à cônica para eliminar o termo e encontrar os eixos alinhados com as direções principais.
A matriz da cônica é:
Vamos encontrar os autovalores dessa matriz para determinar a inclinação dos eixos.

Passo 6

Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos e .

Passo 7

Os autovalores nos indicam as direções dos eixos principais da elipse. Como temos dois autovalores diferentes, a elipse está inclinada em relação aos eixos coordenados originais.
Para encontrar a inclinação dos eixos, usamos os autovetores. Vamos encontrar o autovetor correspondente a :
Simplificando a primeira equação:
Então, o vetor direção do eixo principal é .

Passo 8

Agora, vamos escrever a equação da elipse na forma padronizada. Sabemos que após a rotação, a equação fica:
Para encontrar e , usamos os autovalores:
Portanto, e .

Passo 9

Com todas essas informações, podemos fazer o esboço da elipse:
  • O centro está na origem .
  • Os eixos principais estão inclinados em relação aos eixos e originais, seguindo a direção do vetor .
  • A elipse tem semi-eixos de comprimento 1 e 2.

Resposta

A equação representa uma elipse com centro na origem . Os eixos principais da elipse estão inclinados em relação aos eixos coordenados na direção do vetor . O esboço da elipse mostra seus eixos alinhados nessa direção, com semi-eixos de comprimentos 1 e 2.

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