Identifique a cônica de equação
7 x^2+6 raiz3 x y+13 y^2-16=0
e faça dela um esboço. Deixe bem claro no esboço a direção dos eixos da cônica e a posição de seu centro com relação aos eixos coordenados x e y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de segunda grau que representa uma cônica:
7x^2 + 6raiz3xy + 13y^2 - 16 = 0
Nossa missão aqui é identificar que tipo de cônica é essa (pode ser uma elipse, hipérbole, parábola, etc.) e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as cônicas e como identificar cada uma através da equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação de segunda grau na forma geral é:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No nosso caso, temos:
A = 7, B = 6raiz3, C = 13, D = 0, E = 0, F = -16
Para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante De, que é dado por:
Vamos calcular esse valor com nossos coeficientes.

Passo 3

Calculando o discriminante:
De
Como , sabemos que a cônica é uma elipse, porque o discriminante negativo indica que os coeficientes de e têm o mesmo sinal.

Passo 4

Agora que sabemos que é uma elipse, vamos encontrar o centro dessa elipse. Quando os termos lineares ( e ) são zero, o centro está na origem do sistema de coordenadas, ou seja, em .

Passo 5

Para desenhar o esboço da elipse, precisamos identificar a direção dos seus eixos principais. Isso envolve diagonalizar a matriz associada à cônica para eliminar o termo 7 & 3raiz3 3raiz3 & 13 e encontrar os eixos alinhados com as direções principais.
A matriz da cônica é:
Vamos encontrar os autovalores dessa matriz para determinar a inclinação dos eixos.

Passo 6

Os autovalores det 7 - lambda & 3raiz3 3raiz3 & 13 - lambda = 0 são encontrados resolvendo a equação característica:
(7 - lambda)(13 - lambda) - (3raiz3)^2 = 0
Calculando o determinante:
(91 - 20lambda + lambda^2) - 27 = 0
lambda^2 - 20lambda + 64 = 0
lambda = 20 pm raiz400 - 2562 = 20 pm raiz1442 = 20 pm 122
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos e .

Passo 7

Os autovalores nos indicam as direções dos eixos principais da elipse. Como temos dois autovalores diferentes, a elipse está inclinada em relação aos eixos coordenados originais.
Para encontrar a inclinação dos eixos, usamos os autovetores. Vamos encontrar o autovetor correspondente a 7v1 + 3raiz3v2 = 16v1 3raiz3v1 + 13v2 = 16v2 :
-9v1 + 3raiz3v2 = 0 Rightarrow 3raiz3v2 = 9v1 Rightarrow v2 = 93raiz3v1 = 3raiz3v1 = raiz3v1
Simplificando a primeira equação:
Então, o vetor direção do eixo principal é .

Passo 8

Agora, vamos escrever a equação da elipse na forma padronizada. Sabemos que após a rotação, a equação fica:
x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1
Para encontrar a^2 = 1616 = 1, b^2 = 164 = 4 e , usamos os autovalores:
Portanto, e .

Passo 9

Com todas essas informações, podemos fazer o esboço da elipse:
  • O centro está na origem .
  • Os eixos principais estão inclinados em relação aos eixos e originais, seguindo a direção do vetor .
  • A elipse tem semi-eixos de comprimento 1 e 2.

Resposta

A equação representa uma elipse com centro na origem . Os eixos principais da elipse estão inclinados em relação aos eixos coordenados na direção do vetor . O esboço da elipse mostra seus eixos alinhados nessa direção, com semi-eixos de comprimentos 1 e 2.

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