Identifique a cônica de equação
e faça dela um esboço. Deixe bem claro no esboço a direção dos eixos da cônica e a posição de seu centro com relação aos eixos coordenados
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de segunda grau que representa uma cônica:
Nossa missão aqui é identificar que tipo de cônica é essa (pode ser uma elipse, hipérbole, parábola, etc.) e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as cônicas e como identificar cada uma através da equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação de segunda grau na forma geral é:
No nosso caso, temos:
Para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante
, que é dado por:
Vamos calcular esse valor com nossos coeficientes.
Passo 3
Calculando o discriminante:
Como
, sabemos que a cônica é uma elipse, porque o discriminante negativo indica que os coeficientes de
e
têm o mesmo sinal.
Passo 4
Agora que sabemos que é uma elipse, vamos encontrar o centro dessa elipse. Quando os termos lineares (
e
) são zero, o centro está na origem do sistema de coordenadas, ou seja, em
.
Passo 5
Para desenhar o esboço da elipse, precisamos identificar a direção dos seus eixos principais. Isso envolve diagonalizar a matriz associada à cônica para eliminar o termo
e encontrar os eixos alinhados com as direções principais.
A matriz da cônica é:
Vamos encontrar os autovalores dessa matriz para determinar a inclinação dos eixos.
Passo 6
Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos
e
.
Passo 7
Os autovalores nos indicam as direções dos eixos principais da elipse. Como temos dois autovalores diferentes, a elipse está inclinada em relação aos eixos coordenados originais.
Para encontrar a inclinação dos eixos, usamos os autovetores. Vamos encontrar o autovetor correspondente a
:
Simplificando a primeira equação:
Então, o vetor direção do eixo principal é
.
Passo 8
Agora, vamos escrever a equação da elipse na forma padronizada. Sabemos que após a rotação, a equação fica:
Para encontrar
e
, usamos os autovalores:
Portanto,
e
.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos fazer o esboço da elipse:
- O centro está na origem
. - Os eixos principais estão inclinados em relação aos eixos
e originais, seguindo a direção do vetor . - A elipse tem semi-eixos de comprimento 1 e 2.
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro na origem
. Os eixos principais da elipse estão inclinados em relação aos eixos coordenados na direção do vetor
. O esboço da elipse mostra seus eixos alinhados nessa direção, com semi-eixos de comprimentos 1 e 2.
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Seja V o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a um. Mostre que a relação abaixo é um produto interno.
Mostrar que se
, então
.
Calcular o valor de
de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja
.
Calcular
para que o ângulo entre os vetores
e
seja de
.