Sejam e . Identifique os casos em que temos um produto interno definido em . Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
c)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois vetores em , e . A questão quer saber se o produto interno definido por é realmente um produto interno válido em . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que um produto interno deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um produto interno deve obedecer:
  1. Simetria: .
  2. Linearidade em cada argumento:
  3. Positividade: e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o produto interno dado.

Passo 3

Simetria:
Vamos verificar se .
Calculando .
Observamos que e e . Portanto, . A simetria é satisfeita.

Passo 4

Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento.
Sejam , e vetores em , e um escalar.
Calculando .
Isso é igual a .
Para a homogeneidade, .
Portanto, a linearidade está satisfeita.

Passo 5

Positividade:
Vamos calcular .
Para que seja um produto interno válido, deve ser sempre maior ou igual a zero e igual a zero somente se for o vetor nulo.
Analisando cada termo:
A soma desses termos também será sempre maior ou igual a zero. Além disso, somente se , ou seja, se for o vetor nulo.
Portanto, a propriedade da positividade é satisfeita.

Resposta

O produto interno satisfaz todas as propriedades de um produto interno em .

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d)