Sejam u=(x1, x2, x3) e v=(y1, y2, y3). Identifique os casos em que temos um produto interno definido em R^3. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
c) lang<= u, vrang<==2 x1 y1+x2 y2+4 x3 y3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois vetores em R^3, u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3). A questão quer saber se o produto interno definido por lang<= u, v rang<= = 2x1y1 + x2y2 + 4x3y3 é realmente um produto interno válido em R^3. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que um produto interno deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um produto interno deve obedecer:
  1. Simetria: lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=.
  2. Linearidade em cada argumento:
    • lang<= u + w, v rang<= = lang<= u, v rang<= + lang<= w, v rang<=
    • lang<= alpha u, v rang<= = alpha lang<= u, v rang<=
  3. Positividade: lang<= u, u rang<= >= 0 e lang<= u, u rang<= = 0 se e somente se u = 0.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o produto interno dado.

Passo 3

Simetria:
Vamos verificar se lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=.
Calculando lang<= v, u rang<= = 2y1x1 + y2x2 + 4y3x3.
Observamos que 2x1y1 = 2y1x1 e x2y2 = y2x2 e 4x3y3 = 4y3x3. Portanto, lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=. A simetria é satisfeita.

Passo 4

Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento.
Sejam u, w e v vetores em R^3, e alpha um escalar.
Calculando lang<= u + w, v rang<= = 2(x1 + w1)y1 + (x2 + w2)y2 + 4(x3 + w3)y3.
Isso é igual a .
Para a homogeneidade, 2x1y1 + 2w1y1 + x2y2 + w2y2 + 4x3y3 + 4w3y3 = lang<= u, v rang<= + lang<= w, v rang<=.
Portanto, a linearidade está satisfeita.

Passo 5

Positividade:
Vamos calcular lang<= u, u rang<= = 2x1^2 + x2^2 + 4x3^2.
Para que seja um produto interno válido, lang<= u, u rang<= deve ser sempre maior ou igual a zero e igual a zero somente se u for o vetor nulo.
Analisando cada termo:
  • 2x1^2 >= 0
  • x2^2 >= 0
  • 4x3^2 >= 0
A soma desses termos também será sempre maior ou igual a zero. Além disso, lang<= u, u rang<= = 0 somente se x1 = x2 = x3 = 0, ou seja, se u for o vetor nulo.
Portanto, a propriedade da positividade é satisfeita.

Resposta

O produto interno lang<= u, v rang<= = 2x1y1 + x2y2 + 4x3y3 satisfaz todas as propriedades de um produto interno em R^3.

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