Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois vetores em
,
e
. A questão quer saber se o produto interno definido por
é realmente um produto interno válido em
. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que um produto interno deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um produto interno deve obedecer:
- Simetria:
. - Linearidade em cada argumento:
-
- Positividade:
e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o produto interno dado.
Passo 3
Simetria:
Vamos verificar se
.
Calculando
.
Observamos que
e
e
. Portanto,
. A simetria é satisfeita.
Passo 4
Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento.
Sejam
,
e
vetores em
, e
um escalar.
Calculando
.
Isso é igual a .
Para a homogeneidade,
.
Portanto, a linearidade está satisfeita.
Passo 5
Positividade:
Vamos calcular
.
Para que seja um produto interno válido,
deve ser sempre maior ou igual a zero e igual a zero somente se
for o vetor nulo.
Analisando cada termo:
A soma desses termos também será sempre maior ou igual a zero. Além disso,
somente se
, ou seja, se
for o vetor nulo.
Portanto, a propriedade da positividade é satisfeita.
Resposta
O produto interno
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
.
Exercícios relacionados
Calcular
para que o ângulo entre os vetores
e
seja de
.
Calcular o valor de
de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja
.
Sejam dois vetores
e
não paralelos. Fornecer uma fórmula para calcular o área do triângulo
determinado pelos vetores dados.
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
d)
d)