Calcular o valor de
de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja
.
Passo 1
Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar o valor de
de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é dado pela fórmula:
Aqui,
representa o produto escalar dos vetores, e
e
são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas dos vetores
e
:
Passo 5
Sabemos que o ângulo entre os vetores é
, portanto:
Substituindo na fórmula do cosseno:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Multiplicando:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando:
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:
Passo 8
Fatorando a equação:
Portanto, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.
Exercícios relacionados
Identifique a cônica de equação
e faça dela um esboço. Deixe bem claro no esboço a direção dos eixos da cônica e a posição de seu centro com relação aos eixos coordenados
e
.
Seja V o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a um. Mostre que a relação abaixo é um produto interno.
Calcular
para que o ângulo entre os vetores
e
seja de
.
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
c)
c)