Calcular o valor de m de modo que o ângulo entre os vetores u=(1,-2,1) e v=(-2,1, m+1) seja 120^circ.

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar o valor de de modo que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| entre dois vetores e é dado pela fórmula:
Aqui, representa o produto escalar dos vetores, e e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (1)(-2) + (-2)(1) + (1)(m + 1) = -2 - 2 + m + 1 = m - 3 :

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores |u| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 e |v| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (m + 1)^2 = raiz4 + 1 + (m + 1)^2 = raiz5 + (m + 1)^2 :

Passo 5

Sabemos que o ângulo entre os vetores é cos(120^circ) = -12 , portanto:
-12 = m - 3raiz6 cdot raiz5 + (m + 1)^2
Substituindo na fórmula do cosseno:

Passo 6

Vamos resolver a equação para -12 cdot raiz6 cdot raiz5 + (m + 1)^2 = m - 3 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por (-12 cdot raiz6 cdot raiz5 + (m + 1)^2)^2 = (m - 3)^2 :
14 cdot 6 cdot (5 + (m + 1)^2) = (m - 3)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
64 cdot (5 + m^2 + 2m + 1) = m^2 - 6m + 9
32 cdot (6 + m^2 + 2m) = m^2 - 6m + 9
Simplificando:
9 + 32m^2 + 3m = m^2 - 6m + 9
Multiplicando:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação:
32m^2 + 3m + 9 = m^2 - 6m + 9
Subtraindo 32m^2 + 3m + 9 - m^2 + 6m - 9 = 0 de ambos os lados:
12m^2 + 9m = 0
Simplificando:
m^2 + 18m = 0
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:

Passo 8

Fatorando a equação:
m(m + 18) = 0
Portanto, as soluções são:
m = 0 ou m = -18

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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