Calcular o valor de de modo que o ângulo entre os vetores e seja .

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar o valor de de modo que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre dois vetores e é dado pela fórmula:
Aqui, representa o produto escalar dos vetores, e e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores e :

Passo 5

Sabemos que o ângulo entre os vetores é , portanto:
Substituindo na fórmula do cosseno:

Passo 6

Vamos resolver a equação para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Multiplicando:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Simplificando:
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:

Passo 8

Fatorando a equação:
Portanto, as soluções são:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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c)