Calcular n para que o ângulo entre os vetores e seja de .
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o valor de que faz com que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Além disso, a fórmula que relaciona o ângulo entre os vetores é:
Onde e são as magnitudes dos vetores.

Passo 3

Vamos identificar os vetores no problema. Temos:
Queremos que o ângulo entre e seja .

Passo 4

Calculando o produto escalar :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores. A magnitude de é:
E a magnitude de é:

Passo 6

Usando a fórmula do ângulo entre vetores, temos:
Sabemos que , então:

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:

Passo 8

Subtraindo de ambos os lados:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

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Resposta: ou .