Calcular n para que o ângulo entre os vetores v=(-3,1, n) e k seja de 30^circ.
Resposta: n=raiz30.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o valor de que faz com que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) , o produto escalar é dado por:
Além disso, a fórmula que relaciona o ângulo entre os vetores é:
Onde e são as magnitudes dos vetores.

Passo 3

Vamos identificar os vetores no problema. Temos:
v = (-3, 1, n) e k = (0, 0, 1)
Queremos que o ângulo entre e seja .

Passo 4

Calculando o produto escalar v cdot k = (-3)(0) + (1)(0) + (n)(1) = 0 + 0 + n = n :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores. A magnitude de |v| = raiz(-3)^2 + 1^2 + n^2 = raiz9 + 1 + n^2 = raiz10 + n^2 é:
|k| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1
E a magnitude de é:

Passo 6

Usando a fórmula do ângulo entre vetores, temos:
n = |v| cdot |k| cdot cos(30^circ)
Sabemos que n = raiz10 + n^2 cdot 1 cdot raiz32 = raiz32 raiz10 + n^2 , então:

Passo 7

Vamos isolar 2n = raiz3 raiz10 + n^2 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
(2n)^2 = (raiz3)^2 (10 + n^2)
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
4n^2 = 3(10 + n^2) = 30 + 3n^2

Passo 8

Subtraindo 4n^2 - 3n^2 = 30 de ambos os lados:
n^2 = 30
n = raiz30
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

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