Calcular n para que o ângulo entre os vetores e seja de .
Resposta: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o valor de que faz com que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a fórmula do ângulo entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Além disso, a fórmula que relaciona o ângulo entre os vetores é:
Onde e são as magnitudes dos vetores.
Passo 3
Vamos identificar os vetores no problema. Temos:
Queremos que o ângulo entre e seja .
Passo 4
Calculando o produto escalar :
Passo 5
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores. A magnitude de é:
E a magnitude de é:
Passo 6
Usando a fórmula do ângulo entre vetores, temos:
Sabemos que , então:
Passo 7
Vamos isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Passo 8
Subtraindo de ambos os lados:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: