Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo de vetores que não satisfazem a igualdade. Caso for verdadeira, justifique em no máximo 3 linhas:
(a) Se \vec{u} é não nulo e \vec{u} \times \vec{v}=\vec{u} \times \vec{w}=\overrightarrow{0}$, então , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores no espaço tridimensional e pede para verificar se uma certa afirmação sobre o produto vetorial é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender o que é o produto vetorial e o que significa ele ser igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores e resulta em um vetor perpendicular aos dois. Se , isso quer dizer que os vetores e são paralelos ou um deles é o vetor nulo.

Passo 3

No enunciado, temos que e . Isso indica que tanto quanto são paralelos a . Se dois vetores são paralelos ao mesmo vetor não nulo, eles também são paralelos entre si. Portanto, o produto vetorial também será .

Resposta

Verdadeira. Como e , os vetores e são paralelos a e, portanto, também são paralelos entre si, o que implica que .

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