Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo de vetores que não satisfazem a igualdade. Caso for verdadeira, justifique em no máximo 3 linhas:
(a) Se \vec{u} é não nulo e \vec{u} \times \vec{v}=\vec{u} \times \vec{w}=\overrightarrow{0}$, então
(a) Se \vec{u} é não nulo e \vec{u} \times \vec{v}=\vec{u} \times \vec{w}=\overrightarrow{0}$, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores no espaço tridimensional
e pede para verificar se uma certa afirmação sobre o produto vetorial é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender o que é o produto vetorial e o que significa ele ser igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial
entre dois vetores
e
resulta em um vetor perpendicular aos dois. Se
, isso quer dizer que os vetores
e
são paralelos ou um deles é o vetor nulo.
Passo 3
No enunciado, temos que
e
. Isso indica que tanto
quanto
são paralelos a
. Se dois vetores são paralelos ao mesmo vetor não nulo, eles também são paralelos entre si. Portanto, o produto vetorial
também será
.
Resposta
Verdadeira. Como
e
, os vetores
e
são paralelos a
e, portanto, também são paralelos entre si, o que implica que
.