Sejam A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). Determine:
(a) A projeção ortogonal do vetor \overrightarrow{A B} sobre o vetor \overrightarrow{A D}
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos quatro pontos no espaço: A, B, C e D. Queremos descobrir qual é a projeção ortogonal do vetor AB no vetor AD. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e como projetar um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor AD da mesma maneira:
AD = D - A = (1 - 0, 0 - 2, -1 - 1) = (1, -2, -2)
Passo 4
Para projetar o vetor AB sobre o vetor AD, usamos a fórmula da projeção ortogonal:
ProjAD AB = ( AB cdot AD|AD|^2 ) AD
Aqui, é o produto escalar dos dois vetores, e é o módulo de AD ao quadrado.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar AB cdot AD = (0)(1) + (-3)(-2) + (0)(-2) = 0 + 6 + 0 = 6 :
|AD|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9
Em seguida, calculamos o módulo de AD ao quadrado:
ProjAD AB = ( 69 ) AD = ( 23 ) (1, -2, -2) = ( 23, -43, -43 )
Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal do vetor AB sobre o vetor AD é: