Sejam A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). Determine:
(a) A projeção ortogonal do vetor \overrightarrow{A B} sobre o vetor \overrightarrow{A D}

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos quatro pontos no espaço: A, B, C e D. Queremos descobrir qual é a projeção ortogonal do vetor AB no vetor AD. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e como projetar um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor AD da mesma maneira:

Passo 4

Para projetar o vetor AB sobre o vetor AD, usamos a fórmula da projeção ortogonal:
Aqui, é o produto escalar dos dois vetores, e é o módulo de AD ao quadrado.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
Em seguida, calculamos o módulo de AD ao quadrado:
Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:

Resposta

A projeção ortogonal do vetor AB sobre o vetor AD é:

Exercícios relacionados

No espaço vectorial das funções reais de variável real considere vectores , . Mostre que se existirem números tais que
então os vectores são linearmente independentes.
Sejam A, B e C pontos em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de pontos A, B e C que não satisfaz o enunciado.
(a) Se \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}, então C=B ou |C|=|B|.
Calcular n para que o ângulo entre os vetores e seja de .
Resposta: .