Sejam A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). Determine:
(a) A projeção ortogonal do vetor \overrightarrow{A B} sobre o vetor \overrightarrow{A D}
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos quatro pontos no espaço: A, B, C e D. Queremos descobrir qual é a projeção ortogonal do vetor AB no vetor AD. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e como projetar um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor AD da mesma maneira:
Passo 4
Para projetar o vetor AB sobre o vetor AD, usamos a fórmula da projeção ortogonal:
Aqui, é o produto escalar dos dois vetores, e é o módulo de AD ao quadrado.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar :
Em seguida, calculamos o módulo de AD ao quadrado:
Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal do vetor AB sobre o vetor AD é: