Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60^circ com o vetor i.
Resposta: (12, raiz32, 0) ou (12,-raiz32, 0).

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar um vetor unitário que seja ortogonal ao eixo Oz e que forme um ângulo de 60^circ com o vetor i. Para isso, vamos usar conceitos de vetores unitários, ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, como o vetor deve ser ortogonal ao eixo Oz, sua componente na direção z deve ser zero. Assim, o vetor terá a forma (x, y, 0).

Passo 3

Agora, precisamos que esse vetor forme um ângulo de 60^circ com o vetor i, que é (1, 0, 0). Para encontrar esse ângulo, usamos a fórmula do produto escalar:
u cdot i = |u| cdot |i| cdot cos(theta)
Como u é unitário, |u| = 1, e |i| = 1. Substituindo theta = 60^circ:
x cdot 1 + y cdot 0 + 0 cdot 0 = 1 cdot 1 cdot cos(60^circ)
Então:
x = cos(60^circ) = 12

Passo 4

Agora, para encontrar y, lembramos que o vetor é unitário:
x^2 + y^2 + z^2 = 1
Substituindo x = 12 e z = 0:
(12)^2 + y^2 = 1
14 + y^2 = 1
y^2 = 1 - 14 = 34
y = pm raiz32

Resposta

O vetor unitário que atende às condições é (12, raiz32, 0) ou (12,-raiz32, 0).

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