No espaço vectorial das funções reais de variável real considere vectores , . Mostre que se existirem números tais que
então os vectores são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que precisamos usar. A gente tem um espaço vetorial formado por funções reais de variável real. Temos funções e queremos mostrar que elas são linearmente independentes. Para isso, a condição dada é que o determinante de uma matriz formada pelas avaliações dessas funções em certos pontos seja diferente de zero.
Os conceitos principais aqui são:
  • Espaço Vetorial: Conjunto de objetos (neste caso, funções) que podem ser adicionados e multiplicados por escalar.
  • Independência Linear: Um conjunto de vetores (ou funções) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial (todos os coeficientes são zero).
  • Determinante: Um número que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada e que dá informação sobre várias propriedades da matriz, incluindo se ela é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores (ou funções) serem linearmente independentes. Isso quer dizer que se temos uma combinação linear igual a zero:
A única solução possível é .

Passo 3

Agora, vamos usar a condição dada pelo determinante. A matriz formada pelas funções avaliadas nos pontos é:
O determinante dessa matriz é . A condição dada é que .

Passo 4

Se , isso significa que a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se suas colunas são linearmente independentes.
Então, as colunas de correspondem às funções avaliadas nos pontos . Se essas colunas são linearmente independentes, então as funções originais também são linearmente independentes no espaço vetorial considerado.

Passo 5

Para deixar ainda mais claro, suponha que exista uma combinação linear das funções igual a zero:
Avaliando essa equação nos pontos , temos um sistema de equações matriciais:
Como , a única solução para esse sistema é , o que confirma que as funções são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, os vetores são linearmente independentes.

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Sejam A, B e C pontos em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de pontos A, B e C que não satisfaz o enunciado.
(a) Se \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}, então C=B ou |C|=|B|.
Considere as transformações lineares e dadas por
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine e .
Sejam A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). Determine:
(a) A projeção ortogonal do vetor \overrightarrow{A B} sobre o vetor \overrightarrow{A D}
Calcular n para que o ângulo entre os vetores e seja de .
Resposta: .