No espaço vectorial das funções reais de variável real considere vectores , . Mostre que se existirem números tais que
então os vectores são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que precisamos usar. A gente tem um espaço vetorial formado por funções reais de variável real. Temos funções e queremos mostrar que elas são linearmente independentes. Para isso, a condição dada é que o determinante de uma matriz formada pelas avaliações dessas funções em certos pontos seja diferente de zero.
Os conceitos principais aqui são:
Espaço Vetorial: Conjunto de objetos (neste caso, funções) que podem ser adicionados e multiplicados por escalar.
Independência Linear: Um conjunto de vetores (ou funções) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial (todos os coeficientes são zero).
Determinante: Um número que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada e que dá informação sobre várias propriedades da matriz, incluindo se ela é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores (ou funções) serem linearmente independentes. Isso quer dizer que se temos uma combinação linear igual a zero:
A única solução possível é .
Passo 3
Agora, vamos usar a condição dada pelo determinante. A matriz formada pelas funções avaliadas nos pontos é:
O determinante dessa matriz é . A condição dada é que .
Passo 4
Se , isso significa que a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se suas colunas são linearmente independentes.
Então, as colunas de correspondem às funções avaliadas nos pontos . Se essas colunas são linearmente independentes, então as funções originais também são linearmente independentes no espaço vetorial considerado.
Passo 5
Para deixar ainda mais claro, suponha que exista uma combinação linear das funções igual a zero:
Avaliando essa equação nos pontos , temos um sistema de equações matriciais:
Como , a única solução para esse sistema é , o que confirma que as funções são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, os vetores são linearmente independentes.