Calcular nabla \cdot F e nabla \times F para F(x, y, z) = (yz, xz, xy).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o divergente ( ) e o rotacional ( nabla x F) do campo vetorial . Para isso, precisamos saber o que são divergente e rotacional na matéria de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de F, que é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para o divergente em coordenadas cartesianas é:
Onde , , e são as componentes de F nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula para :
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Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de F, que nos diz a tendência do campo vetorial a “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:

Passo 5

Aplicando a fórmula para :
Então, a primeira componente do rotacional é:
A segunda componente do rotacional é:
A terceira componente do rotacional é:

Resposta

O divergente de F é 0 e o rotacional de F é o vetor nulo .

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