Calcular
para
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o divergente (
) e o rotacional (
) do campo vetorial
. Para isso, precisamos saber o que são divergente e rotacional na matéria de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
, que é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para o divergente em coordenadas cartesianas é:
Onde
,
, e
são as componentes de
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula para
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que nos diz a tendência do campo vetorial a “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 5
Aplicando a fórmula para
:
Então, a primeira componente do rotacional é:
A segunda componente do rotacional é:
A terceira componente do rotacional é:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é o vetor nulo
.
Exercícios relacionados
Prove que
é uma linha de fluxo de
).
Seja
uma linha de fluxo do campo gradiente
. Provar que
é uma função decrescente em relação a
.
Se
e
são campos vetoriais, prove
. A partir dai deduza que
.
Considere o campo
. Verifique que
e encontre
tal que
.