Seja gamma(t) uma linha de fluxo do campo gradiente F = -nabla f. Provar que f(gamma(t)) é uma função decrescente em relação a t.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, se gamma(t) é uma linha de fluxo do campo gradiente , então a função f(gamma(t)) diminui conforme t aumenta. Estamos lidando com campo vetorial gradiente e linhas de fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função composta ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma linha de fluxo de um campo vetorial. Uma linha de fluxo gamma(t) para o campo F satisfaz a equação diferencial:
No nosso caso, . Então, a equação fica:

Passo 3

Queremos analisar como a função f se comporta ao longo dessa linha de fluxo, ou seja, estudar f(gamma(t)). Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas, que nos permite calcular a derivada de uma função composta.
A derivada de f(gamma(t)) em relação a t é:

Passo 4

Substituindo a expressão para que encontramos no passo 2, temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

Observamos que é a norma ao quadrado do vetor gradiente, que é sempre não negativa. Portanto, temos:
Isso significa que a derivada de f(gamma(t)) em relação a t é sempre negativa ou zero.

Resposta

Concluímos que f(gamma(t)) é uma função decrescente em relação a t.

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