Seja
uma linha de fluxo do campo gradiente
. Provar que
é uma função decrescente em relação a
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, se
é uma linha de fluxo do campo gradiente
, então a função
diminui conforme
aumenta. Estamos lidando com campo vetorial gradiente e linhas de fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função composta ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma linha de fluxo de um campo vetorial. Uma linha de fluxo
para o campo
satisfaz a equação diferencial:
No nosso caso,
. Então, a equação fica:
Passo 3
Queremos analisar como a função
se comporta ao longo dessa linha de fluxo, ou seja, estudar
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas, que nos permite calcular a derivada de uma função composta.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo a expressão para
que encontramos no passo 2, temos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Observamos que
é a norma ao quadrado do vetor gradiente, que é sempre não negativa. Portanto, temos:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é sempre negativa ou zero.
Resposta
Concluímos que
é uma função decrescente em relação a
.