Prove que
é uma linha de fluxo de
).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
e um campo vetorial
. A pergunta é para provar que
é uma linha de fluxo de
.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com linhas de fluxo ou trajectórias de um campo vetorial. Uma linha de fluxo é uma curva cuja derivada em cada ponto é igual ao campo vetorial naquele ponto.
O que vamos precisar: Calcularemos a derivada de
e verificaremos se ela é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Lembre-se que derivar nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Derivando cada componente:
Calculando cada derivada:
Para a terceira componente, usamos a regra do quociente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Isso significa substituir os componentes de
nos lugares correspondentes em
.
Substituindo
:
Então,
Simplificando a terceira componente:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos comparar
com
:
Vemos que
para todo
.
Resposta
Assim, provamos que
é uma linha de fluxo do campo vetorial
.
Exercícios relacionados
Seja
uma linha de fluxo do campo gradiente
. Provar que
é uma função decrescente em relação a
.
Traçar algumas linhas de fluxo do campo
.
Calcular
para
.
Se
e
são campos vetoriais, prove
. A partir dai deduza que
.