Prove que alpha(t) = (1 / (1 - t), 0, e^t / (1 - t)) é uma linha de fluxo de F(x, y, z) = (x^2, 0, z(1+x)) ).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função e um campo vetorial . A pergunta é para provar que é uma linha de fluxo de .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com linhas de fluxo ou trajectórias de um campo vetorial. Uma linha de fluxo é uma curva cuja derivada em cada ponto é igual ao campo vetorial naquele ponto.
O que vamos precisar: Calcularemos a derivada de e verificaremos se ela é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Lembre-se que derivar nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Derivando cada componente:
Calculando cada derivada:
Para a terceira componente, usamos a regra do quociente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular . Isso significa substituir os componentes de nos lugares correspondentes em .
Substituindo :
Então,
Simplificando a terceira componente:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos comparar com :
Vemos que para todo .

Resposta

Assim, provamos que é uma linha de fluxo do campo vetorial .

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