Considere o campo . Verifique que e encontre tal que .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . O objetivo é verificar se o rotacional de , ou seja, , é igual a zero. Se for, isso significa que o campo é conservativo e podemos encontrar uma função tal que . Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional e a obtenção de funções potenciais para campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que é representado por . A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira componente do rotacional:

Passo 4

Agora, a segunda componente:

Passo 5

Por fim, a terceira componente:

Passo 6

Juntando todas as componentes, temos:
Isso mostra que o rotacional de é nulo.

Passo 7

Como , sabemos que o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que . Vamos encontrar essa função .
Sabemos que:
Portanto, temos as seguintes equações:

Passo 8

Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e .

Passo 9

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Integrando essa expressão em relação a :
Onde é uma função de integração que depende apenas de .

Passo 10

Finalmente, consideramos a terceira equação :
Isso implica que é uma constante. Podemos escolher essa constante como zero para simplificar a função potencial.

Resposta

A função potencial é:

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Se e são campos vetoriais, prove . A partir dai deduza que .
Calcular para .
Calcule os limites abaixo: ;
Calcule a integral de linha. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo no plano até o cilindro parabólico .