Considere o campo
. Verifique que
e encontre
tal que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
. O objetivo é verificar se o rotacional de
, ou seja,
, é igual a zero. Se for, isso significa que o campo é conservativo e podemos encontrar uma função
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional e a obtenção de funções potenciais para campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é representado por
. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a primeira componente do rotacional:
Passo 4
Agora, a segunda componente:
Passo 5
Por fim, a terceira componente:
Passo 6
Juntando todas as componentes, temos:
Isso mostra que o rotacional de
é nulo.
Passo 7
Como
, sabemos que o campo
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar essa função
.
Sabemos que:
Portanto, temos as seguintes equações:
Passo 8
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que pode depender de
e
.
Passo 9
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Integrando essa expressão em relação a
:
Onde
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 10
Finalmente, consideramos a terceira equação
:
Isso implica que
é uma constante. Podemos escolher essa constante como zero para simplificar a função potencial.
Resposta
A função potencial é:
Exercícios relacionados
Se
e
são campos vetoriais, prove
. A partir dai deduza que
.
Calcular
para
.
Calcule os limites abaixo:
;
Calcule a integral de linha. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo
no plano
até o cilindro parabólico
.