Se e são campos vetoriais, prove . A partir dai deduza que .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para provar uma identidade envolvendo o divergente e o rotacional de campos vetoriais, e depois usar isso para deduzir outra identidade. Para isso, vamos precisar saber sobre produto vetorial, divergente ( ) e rotacional ( ) de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, queremos provar que:
Para isso, vamos lembrar a definição do divergente e do rotacional e usar a definição do produto vetorial.

Passo 3

Vamos considerar componentes dos vetores. Seja e . O produto vetorial é dado por:

Passo 4

O divergente de um vetor é:
Aplicando isso a :

Passo 5

Agora, vamos expandir cada derivada:

Passo 6

Reorganizando os termos:

Passo 7

Agora, vamos agrupar os termos que correspondem a e .
Sabemos que:
E similarmente para .

Passo 8

Calculando :
E :

Passo 9

Comparando com o que obtivemos no Passo 6, vemos que:
Portanto, a primeira parte está provada!

Passo 10

Agora, vamos deduzir que:
Aqui, e são funções escalares, então e são seus gradientes.

Passo 11

Aplicando a identidade que provamos:

Passo 12

Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero:

Passo 13

Substituindo na equação:

Resposta

Portanto, .

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