Se
e
são campos vetoriais, prove
. A partir dai deduza que
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para provar uma identidade envolvendo o divergente e o rotacional de campos vetoriais, e depois usar isso para deduzir outra identidade. Para isso, vamos precisar saber sobre produto vetorial, divergente (
) e rotacional (
) de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, queremos provar que:
Para isso, vamos lembrar a definição do divergente e do rotacional e usar a definição do produto vetorial.
Passo 3
Vamos considerar componentes dos vetores. Seja
e
. O produto vetorial
é dado por:
Passo 4
O divergente de um vetor
é:
Aplicando isso a
:
Passo 5
Agora, vamos expandir cada derivada:
Passo 6
Reorganizando os termos:
Passo 7
Agora, vamos agrupar os termos que correspondem a
e
.
Sabemos que:
E similarmente para
.
Passo 8
Calculando
:
E
:
Passo 9
Comparando com o que obtivemos no Passo 6, vemos que:
Portanto, a primeira parte está provada!
Passo 10
Agora, vamos deduzir que:
Aqui,
e
são funções escalares, então
e
são seus gradientes.
Passo 11
Aplicando a identidade que provamos:
Passo 12
Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero:
Passo 13
Substituindo na equação:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Calcular
para
.
Prove que
é uma linha de fluxo de
).
Considere o campo
. Verifique que
e encontre
tal que
.
Calcule os limites abaixo:
;