Calcular
e
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular as segundas derivadas parciais de uma função, especificamente
,
,
e
. A função que a gente tem é
. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Lembre-se que ao derivar em relação a
,
é considerada uma constante.
A função é:
Derivando a primeira parte:
Agora, derivando a segunda parte:
Então, juntando as duas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui,
é considerada uma constante.
Derivando a primeira parte:
Derivando a segunda parte:
Então, juntando as duas derivadas:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos para as segundas derivadas parciais.
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Por fim, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Aplicando a regra do quociente:
Resposta
As segundas derivadas parciais são: