Calcular fxx, fxy, fyx e fyy, onde f(x, y) = ln(x^2 + y^2) + arctan(y / x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular as segundas derivadas parciais de uma função, especificamente , , e . A função que a gente tem é . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, . Lembre-se que ao derivar em relação a , é considerada uma constante.
A função é:
Derivando a primeira parte:
Agora, derivando a segunda parte:
Então, juntando as duas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, é considerada uma constante.
Derivando a primeira parte:
Derivando a segunda parte:
Então, juntando as duas derivadas:

Passo 4

Agora que temos e , vamos para as segundas derivadas parciais.
Primeiro, vamos calcular , que é a derivada de em relação a .
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a .
Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos calcular , que é a derivada de em relação a .
Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Por fim, vamos calcular , que é a derivada de em relação a .
Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As segundas derivadas parciais são:

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