Considere a função
f(x, y)=cc x^3 y-x y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Calcular, caso existam, os valores de partial^2 fpartial x partial y(0,0) e partial^2 fpartial y partial x(0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para o ponto e para outros pontos . O conteúdo envolvido aqui são derivadas parciais de segunda ordem, especificamente as derivadas mistas e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiras e depois as derivadas parciais de segunda ordem no ponto .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a f(h, 0) = h^3 cdot 0 - h cdot 0^3h^2 + 0^2 = 0 no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 . Lembrando que a derivada parcial de primeira ordem no ponto é dada por:
Substituindo na função :
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k em relação a f(0, k) = 0 (pela definição da função) no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 :
Substituindo na função :
çãçã
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos encontrar partial^2 fpartial x partial y(0,0) = partialpartial y ( partial fpartial x ) g|(0,0) , que é a derivada da derivada parcial em partial^2 fpartial x partial y(0,0) = 0 em relação a :
Já que é constante, sua derivada em relação a também será 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular partial^2 fpartial y partial x(0,0) = partialpartial x ( partial fpartial y ) g|(0,0) , que é a derivada da derivada parcial em partial^2 fpartial y partial x(0,0) = 0 em relação a :
Assim como antes, é constante, então sua derivada em relação a também será 0.

Resposta

Ambas as derivadas mistas no ponto partial^2 fpartial x partial y(0,0) = 0 e partial^2 fpartial y partial x(0,0) = 0 são iguais a zero:

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