Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para o ponto e para outros pontos . O conteúdo envolvido aqui são derivadas parciais de segunda ordem, especificamente as derivadas mistas e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiras e depois as derivadas parciais de segunda ordem no ponto .
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a no ponto . Lembrando que a derivada parcial de primeira ordem no ponto é dada por:
Substituindo na função :
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto :
Substituindo na função :
Então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada da derivada parcial em em relação a :
Já que é constante, sua derivada em relação a também será 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular partial^2 fpartial y partial x(0,0) = partialpartial x ( partial fpartial y ) g|(0,0) , que é a derivada da derivada parcial em partial^2 fpartial y partial x(0,0) = 0 em relação a :
Assim como antes, é constante, então sua derivada em relação a também será 0.
Resposta
Ambas as derivadas mistas no ponto partial^2 fpartial x partial y(0,0) = 0 e partial^2 fpartial y partial x(0,0) = 0 são iguais a zero: