Considere a função
Calcular, caso existam, os valores de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que muda de fórmula quando
é igual a
e queremos calcular as segundas derivadas parciais
e
. Para isso, vamos precisar entender como as derivadas parciais funcionam e aplicar o conceito de derivadas de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, mede como
muda quando a gente varia apenas o
, deixando
fixo. Da mesma forma,
mede a mudança quando variamos só o
.
Passo 3
Como queremos as segundas derivadas,
e
, vamos precisar derivar as derivadas parciais
e
novamente em relação a
e
, respectivamente. Mas antes, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Para
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
em
. Mas cuidado! A expressão que encontramos para
não é válida em
. Então, precisamos usar a definição de derivada parcial:
Sabemos que
e para
:
Então:
Pois sabemos que
.
Passo 6
Agora, vamos achar
. Usando a definição da segunda derivada:
Já encontramos que
. Precisamos calcular
:
Então:
Passo 7
Vamos repetir o processo para
. Primeiro, encontramos
para
:
Passo 8
Agora, avaliamos
em
usando a definição:
Para
:
Então:
Pois
.
Passo 9
Finalmente, calculamos
:
Já que
, temos:
Usando a série de Taylor de
.
Resposta
Os valores das segundas derivadas parciais em
são: