Considere a função
f(x, y)=cl e^x+e^-y+x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 2 & se (x, y)=(0,0)
Calcular, caso existam, os valores de fx x(0,0) e fy y(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula quando é igual a e queremos calcular as segundas derivadas parciais e . Para isso, vamos precisar entender como as derivadas parciais funcionam e aplicar o conceito de derivadas de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a , denotada por , mede como muda quando a gente varia apenas o , deixando fixo. Da mesma forma, mede a mudança quando variamos só o .

Passo 3

Como queremos as segundas derivadas, e , vamos precisar derivar as derivadas parciais e novamente em relação a e , respectivamente. Mas antes, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos calcular f(x, y) = e^x + e^-y + xyx^2 + y^2 primeiro. Para fx = e^x + y(x^2 + y^2) - xy(2x)(x^2 + y^2)^2 = e^x + y(x^2 + y^2 - 2x^2)(x^2 + y^2)^2 = e^x + y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 :
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em f(h,0) = e^h + e^0 + h cdot 0h^2 + 0^2 = e^h + 1 . Mas cuidado! A expressão que encontramos para fx(0,0) = limh to 0 e^h + 1 - 2h = limh to 0 e^h -1h = 1 não é válida em . Então, precisamos usar a definição de derivada parcial:
Sabemos que e para :
Então:
Pois sabemos que .

Passo 6

Agora, vamos achar fxx(0,0) = limh to 0 fx(h,0) - fx(0,0)h . Usando a definição da segunda derivada:
fx(h,0) = e^h + 0(0^2 - h^2)(h^2 + 0^2)^2 = e^h
Já encontramos que fxx(0,0) = limh to 0 e^h -1h = 1 . Precisamos calcular :
Então:

Passo 7

Vamos repetir o processo para fy = -e^-y + x(x^2 + y^2) - xy(2y)(x^2 + y^2)^2 = -e^-y + x(x^2 + y^2 - 2y^2)(x^2 + y^2)^2 = -e^-y + x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 . Primeiro, encontramos para :

Passo 8

Agora, avaliamos fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k em f(0,k) = e^0 + e^-k + 0 cdot k0^2 + k^2 = 1 + e^-k usando a definição:
fy(0,0) = limk to 0 1 + e^-k - 2k = limk to 0 e^-k -1k = -1
Para :
Então:
Pois .

Passo 9

Finalmente, calculamos fyy(0,0) = limk to 0 fy(0,k) - fy(0,0)k :
fyy(0,0) = limk to 0 -e^-k - (-1)k = limk to 0 1 - e^-kk = 11 = 1
Já que , temos:
Usando a série de Taylor de .

Resposta

Os valores das segundas derivadas parciais em fxx(0,0) = 1 e fyy(0,0) = 1 são:

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