Seja
sen
. Considere
, onde
e
são funções de classe
em
, tais que:
Além disso:
e
. Determine o valor de
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma função composta
, onde
. As funções
e
são duas vezes diferenciáveis e temos valores e derivadas parciais específicas para
e
no ponto
. Nosso objetivo é encontrar o valor da derivada parcial mista
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 4
Vamos calcular agora as derivadas parciais de
necessárias no ponto
:
Passo 5
Agora, substituindo todos os valores conhecidos na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
O valor de
é
.