Seja f(x, y)=e^x sen (y). Considere F(s, t)=f(g(s, t), h(s, t)), onde g e h são funções de classe C^2 em R^2, tais que:
g(1,1)=0, h(1,1)=pi, gs(1,1)=1, hs(1,1)=3, gt(1,1)=2, ht(1,1)=1
Além disso: gs t(1,1)=2 e hs t(1,1)=3. Determine o valor de partial^2 Fpartial t partial s(1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma função composta , onde . As funções e são duas vezes diferenciáveis e temos valores e derivadas parciais específicas para e no ponto . Nosso objetivo é encontrar o valor da derivada parcial mista . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de Fs = fx cdot gs + fy cdot hs em relação a Ft = fx cdot gt + fy cdot ht e usando a regra da cadeia.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada mista Fst = partialpartial t(Fs) = partialpartial t(fx cdot gs + fy cdot hs) , que é a derivada de Fst = fxx cdot gs cdot gt + fxy cdot gs cdot ht + fyx cdot hs cdot gt + fyy cdot hs cdot ht + fx cdot gst + fy cdot hst em relação a :
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 4

Vamos calcular agora as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = e^x sin(y) Rightarrow fx(0, pi) = e^0 sin(pi) = 1 cdot 0 = 0 necessárias no ponto fy = partial fpartial y = e^x cos(y) Rightarrow fy(0, pi) = e^0 cos(pi) = 1 cdot (-1) = -1 :
fxx = partial^2 fpartial x^2 = e^x sin(y) Rightarrow fxx(0, pi) = e^0 sin(pi) = 0
fxy = partial^2 fpartial x partial y = e^x cos(y) Rightarrow fxy(0, pi) = e^0 cos(pi) = -1
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -e^x sin(y) Rightarrow fyy(0, pi) = -e^0 sin(pi) = 0

Passo 5

Agora, substituindo todos os valores conhecidos na expressão de Fst(1,1) = 0 cdot 1 cdot 2 + (-1) cdot 1 cdot 1 + (-1) cdot 3 cdot 2 + 0 cdot 3 cdot 1 + 0 cdot 2 + (-1) cdot 3 :
Fst(1,1) = 0 - 1 - 6 + 0 + 0 - 3 = -10
Simplificando:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados