Calcular
onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada de
em relação a
, onde
. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que envolvem produtos e logaritmos naturais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que
é um produto de três partes:
,
e
. Para derivar isso, podemos considerar
como um único fator e
como outro fator. Assim, aplicaremos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Matematicamente, se
, então:
Passo 3
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Primeiro, derivamos
. Como
é uma constante, a derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da constante multiplicativa, que diz que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é necessária quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
. Aqui,
, então:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
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Para que valores de
a reta
é tangente ao círculo
?
Calcular
onde:
Calcular
onde:
Encontre
onde: