Calcular onde:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada de em relação a , onde . Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que envolvem produtos e logaritmos naturais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é um produto de três partes: , e . Para derivar isso, podemos considerar como um único fator e como outro fator. Assim, aplicaremos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Matematicamente, se , então:

Passo 3

Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Primeiro, derivamos . Como é uma constante, a derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da constante multiplicativa, que diz que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia, que é necessária quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de é . Aqui, , então:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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