Para que valores de a reta é tangente ao círculo ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de para os quais a reta é tangente ao círculo dado pela equação . Vamos usar a matéria de Geometria Analítica, especialmente conceitos sobre retas, círculos e condições de tangência. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação do círculo, identificar seu centro e raio, e aplicar a condição de tangência entre uma reta e um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do círculo em sua forma padrão. Para isso, completamos o quadrado para o termo envolvendo .
A equação fica:
Completando o quadrado para :
Agora, a equação está na forma padrão , onde é o centro e é o raio do círculo.

Passo 3

Identificamos o centro e o raio do círculo:

Passo 4

Agora, vamos considerar a reta . Queremos encontrar os valores de para os quais essa reta é tangente ao círculo. Para que uma reta seja tangente a um círculo, a distância entre o centro do círculo e a reta deve ser igual ao raio do círculo.

Passo 5

A fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta é:
Vamos reescrever a equação da reta na forma geral :
Então, temos , e .

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância para o centro :

Passo 7

Como a reta deve ser tangente ao círculo, a distância deve ser igual ao raio :

Passo 8

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, eliminamos o valor absoluto e elevamos ambos os lados ao quadrado para simplificar:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 10

Resolvendo para :
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Os valores de que tornam a reta tangente ao círculo são:

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