Para que valores de
a reta
é tangente ao círculo
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
para os quais a reta
é tangente ao círculo dado pela equação
. Vamos usar a matéria de Geometria Analítica, especialmente conceitos sobre retas, círculos e condições de tangência. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação do círculo, identificar seu centro e raio, e aplicar a condição de tangência entre uma reta e um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do círculo
em sua forma padrão. Para isso, completamos o quadrado para o termo envolvendo
.
A equação fica:
Completando o quadrado para
:
Agora, a equação está na forma padrão
, onde
é o centro e
é o raio do círculo.
Passo 3
Identificamos o centro
e o raio
do círculo:
Passo 4
Agora, vamos considerar a reta
. Queremos encontrar os valores de
para os quais essa reta é tangente ao círculo. Para que uma reta seja tangente a um círculo, a distância entre o centro do círculo e a reta deve ser igual ao raio do círculo.
Passo 5
A fórmula para calcular a distância
entre um ponto
e uma reta
é:
Vamos reescrever a equação da reta
na forma geral
:
Então, temos
,
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da distância para o centro
:
Passo 7
Como a reta deve ser tangente ao círculo, a distância
deve ser igual ao raio
:
Passo 8
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, eliminamos o valor absoluto e elevamos ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 10
Resolvendo para
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Os valores de
que tornam a reta
tangente ao círculo são:
Exercícios relacionados
Calcular
onde:
Uma reta cujo coeficiente angular é
passa pela origem e é tangente a curva
. Qual é o valor de
?
Calcular
onde:
Calcular
onde: